Determine the domain of the function f for the following cases: a) f(x) = sqrt(x+2)/(x-1) b) f(x) = sqrt(x2+x+1) Study the parity of the function: a) f(x) = x3/(x2-4)

التمرين 3:

1. تحديد مجموعة تعريف الدالة $f$ في الحالات التالية:

• a) $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ لكي تكون الدالة معرفة، يجب أن يتحقق شرطان:

  • ما تحت الجذر التربيعي يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر:
  $$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$$
  • المقام يجب ألا يساوي الصفر:
  $$x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$$

  بدمج الشرطين، تكون مجموعة التعريف هي جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي $-2$ باستثناء 1.

  $$D_f = [-2, +\infty) \setminus \{1\}$$

  أو

  $$\boxed{D_f = [-2, 1) \cup (1, +\infty)}$$

• b) $f(x) = \sqrt{x^2+x+1}$ لكي تكون الدالة معرفة، يجب أن يكون ما تحت الجذر التربيعي أكبر من أو يساوي الصفر:

  $$x^2+x+1 \ge 0$$

  نحسب مميز المعادلة التربيعية $x^2+x+1=0$:

  $$\Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$$

  بما أن $\Delta < 0$ ومعامل $x^2$ (وهو 1) موجب، فإن ثلاثية الحدود $x^2+x+1$ تكون دائمًا موجبة لجميع قيم $x$ الحقيقية. لذلك، $x^2+x+1 > 0$ دائمًا.

  $$\boxed{D_f = \mathbb{R}}$$

2. دراسة زوجية أو فردية الدالة:

• a) $f(x) = \frac{x^3}{x^2-4}$