EXERCICE 1: Soit la fonction F(x)=(2x-√2)²-2(2x-√2)(√2+1)+(√2+1)². 1) Montrer que F(x) est le carré d'une expression. 2) Résoudre dans IR l'équation : √F(x)=1. 3) Soit la fonction G(x)=|2x-1|-1. Ecrire G(x) sans valeur absolue. 4) Représenter graphiquement G(x) dans un repère orthonormé d'unité 2cm.

Question

Asked on August 28, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-08-28T17:52:28.571Z

Voici la résolution des exercices. EXERCICE 1 1) Montrer que F(x) est le carré d'une expression. L'expression donnée est de la forme a^2 - 2ab + b^2, qui est l'identité remarquable (a-b)^2. Step 1: Identifier a et b dans l'expression. F(x) = (2x - sqrt(2))^2 - 2(2x - sqrt(2))(sqrt(2) + 1) + (sqrt(2) + 1)^2 On pose a = 2x - sqrt(2) et b = sqrt(2) + 1. Step 2: Appliquer l'identité remarquable (a-b)^2. F(x) = ( (2x - sqrt(2)) - (sqrt(2) + 1) )^2 Step 3: Simplifier l'expression à l'intérieur des parenthèses. F(x) = (2x - sqrt(2) - sqrt(2) - 1)^2 F(x) = (2x - 2sqrt(2) - 1)^2 Ainsi, F(x) est le carré de l'expression (2x - 2sqrt(2) - 1). F(x) = (2x - 2sqrt(2) - 1)^2 2) Résoudre dans R l'équation : sqrt(F(x)) = 1. Step 1: Substituer F(x) par son expression simplifiée. sqrt((2x - 22) - 1)^2 = 1 Step 2: Simplifier l'expression avec la racine carrée. La racine carrée d'un carré est la valeur absolue : sqrt(A^2) = |A|. |2x - 2sqrt(2) - 1| = 1 Step 3: Résoudre l'équation avec la valeur absolue. Cela signifie que 2x - 2sqrt(2) - 1 = 1 ou 2x - 2sqrt(2) - 1 = -1. Step 4: Résoudre la première équation. 2x - 2sqrt(2) - 1 = 1 2x = 1 + 2sqrt(2) + 1 2x = 2 + 2sqrt(2) x = 2 + 2sqrt(2)2 x = 1 + sqrt(2) Step 5: Résoudre la deuxième équation. 2x - 2sqrt(2) - 1 = -1 2x = -1 + 2sqrt(2) + 1 2x = 2sqrt(2) x = 2sqrt(2)2 x = sqrt(2) L'ensemble des solutions est S = \sqrt(2) ; 1 + sqrt(2)\. S = \sqrt(2) ; 1 + sqrt(2)\ 3) Soit la fonction G(x) = |2x - 1| - 1. Écrire G(x) sans valeur absolue. Step 1: Déterminer les cas pour la valeur absolue. La valeur absolue |2x - 1| change de définition selon le signe de 2x - 1. • Si 2x - 1 0, c'est-à-dire x (1)/(2), alors |2x - 1| = 2x - 1. • Si 2x - 1 < 0, c'est-à-dire x < (1)/(2), alors |2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1. Step 2: Écrire G(x) pour le premier cas (x (1)/(2)). G(x) = (2x - 1) - 1 G(x) = 2x - 2 Step 3: Écrire G(x) pour le second cas (x < (1)/(2)). G(x) = (-2x + 1) - 1 G(x) = -2x L'expression de G(x) sans valeur absolue est : G(x) = 2x - 2 & si x (1)/(2) \\ -2x & si x < (1)/(2) 4) Représenter graphiquement G(x) dans un repère orthonormé d'unité 2cm. La fonction G(x) est une fonction affine par morceaux. • Pour x (1)/(2), la courbe est la droite d'équation y = 2x - 2. Si x = (1)/(2), y = 2((1)/(2)) - 2 = -1. Le point est ((1)/(2) ; -1). Si x = 1, y = 2(1) - 2 = 0. Le point est (1 ; 0). • Pour x < (1)/(2), la courbe est la droite d'équation y = -2x. Si x = (1)/(2), y = -2((1)/(2)) = -1. Le point est ((1)/(2) ; -1). Si x = 0, y = -2(0) = 0. Le point est (0 ; 0). La représentation graphique est une forme en "V" dont le sommet est le point ((1)/(2) ; -1). La branche de droite (x (1)/(2)) a une pente de 2, et la branche de gauche (x < (1)/(2)) a une pente de -2. L'unité sur les axes est de 2 cm. EXERCICE 2 1) Montrer que B = sqrt(3). Soit l'expression B = sqrt(75) + sqrt(48) - sqrt(192). Step 1: Simplifier chaque terme de l'expression. sqrt(75) = sqrt(25 × 3) = 5sqrt(3) sqrt(48) = sqrt(16 × 3) = 4sqrt(3) sqrt(192) = sqrt(64 × 3) = 8sqrt(3) Step 2: Substituer les formes simplifiées dans l'expression de B. B = 5sqrt(3) + 4sqrt(3) - 8sqrt(3) Step 3: Effectuer l'addition et la soustraction. B = (5 + 4 - 8)sqrt(3) B = (9 - 8)sqrt(3) B = 1sqrt(3) B = sqrt(3) 2) Calculer la valeur numérique de l'expression suivante : C = (2x)/(2-x) - (2-x)/(2x) pour x = sqrt(3). Step 1: Simplifier l'expression C en la mettant au même dénominateur. C = (2x · (2x))/((2-x) · (2x)) - ((2-x) · (2-x))/((2x) · (2-x)) C = (4x^2 - (2-x)^2)/(2x(2-x)) Step 2: Développer le numérateur et le dénominateur. C = (4x^2 - (4 - 4x + x^2))/(4x - 2x^2) C = (4x^2 - 4 + 4x - x^2)/(4x - 2x^2) C = (3x^2 + 4x - 4)/(4x - 2x^2) Step 3: Substituer x = sqrt(3) dans l'expression simplifiée. On a x^2 = (sqrt(3))^2 = 3. Numérateur : 3(3) + 4sqrt(3) - 4 = 9 + 4sqrt(3) - 4 = 5 + 4sqrt(3). Dénominateur : 4sqrt(3) - 2(3) = 4sqrt(3) - 6. C = 5 + 4sqrt(3)4sqrt(3) - 6 Step 4: Rationaliser le dénominateur en multipliant par le conjugué. C = (5 + 4sqrt(3))(4sqrt(3) + 6)(4sqrt(3) - 6)(4sqrt(3) + 6) Step 5: Développer le numérateur. (5 + 4sqrt(3))(4sqrt(3) + 6) = 20sqrt(3) + 30 + 16(3) + 24sqrt(3) = 20sqrt(3) + 30 + 48 + 24sqrt(3) = 78 + 44sqrt(3) Step 6: Développer le dénominateur. (4sqrt(3) - 6)(4sqrt(3) + 6) = (4sqrt(3))^2 - 6^2 = 16 × 3 - 36 = 48 - 36 = 12 Step 7: Écrire l'expression finale et la simplifier. C = 78 + 44sqrt(3)12 C = 39 + 22sqrt(3)6 C = 39 + 22sqrt(3)6 EXERCICE 3 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 2 - sqrt(3) et AC = 2 + sqrt(3). 1) Calculer BC. Step 1: Appliquer le théorème de Pythagore. BC^2 = AB^2 + AC^2 Step 2: Calculer AB^2. AB^2 = (2 - sqrt(3))^2 = 2^2 - 2(2)(sqrt(3)) + (sqrt(3))^2 = 4 - 4sqrt(3) + 3 = 7 - 4sqrt(3) Step 3: Calculer AC^2. AC^2 = (2 + sqrt(3))^2 = 2^2 + 2(2)(sqrt(3)) + (sqrt(3))^2 = 4 + 4sqrt(3) + 3 = 7 + 4sqrt(3) Step 4: Calculer BC^2 puis BC. BC^2 = (7 - 4sqrt(3)) + (7 + 4sqrt(3)) = 14 BC = sqrt(14) BC = sqrt(14) 2) Calculer le périmètre puis l'aire du triangle ABC. Step 1: Calculer le périmètre P. P = AB + AC + BC = (2 - sqrt(3)) + (2 + sqrt(3)) + sqrt(14) P = 4 + sqrt(14) P = 4 + sqrt(14) Step 2: Calculer l'aire A. A = (1)/(2) × AB × AC = (1)/(2) × (2 - sqrt(3)) × (2 + sqrt(3)) A = (1)/(2) × (2^2 - (sqrt(3))^2) = (1)/(2) × (4 - 3) = (1)/(2) × 1 A = (1)/(2) A = (1)/(2) 3) Calculer le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC. Step 1: Identifier la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre de son cercle circonscrit. Step 2: Déduire le diamètre. Le diamètre D est égal à BC. D = sqrt(14) D = sqrt(14) 4) Calculer le périmètre puis l'aire du cercle. Step 1: Déterminer le rayon du cercle. R = (D)/(2) = sqrt(14)2 Step 2: Calculer le périmètre (circonférence) du cercle. C_cercle = D = sqrt(14) C_cercle = sqrt(14) Step 3: Calculer l'aire du cercle. A_cercle = R^2 = (sqrt(14)2)^2 = ((14)/(4)) A_cercle = (7)/(2) A_cercle = (7)/(2) That's 2 down. 3 left today — send the next one.

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Voici la résolution des exercices. EXERCICE 1 1) Montrer que F(x) est le carré d'une expression. L'expression donnée est de la forme a^2 - 2ab + b^2, qui est l'identité remarquable (a-b)^2. Step 1: Identifier a et b dans l'expression. F(x) = (2x - sqrt(2))^2 - 2(2x - sqrt(2))(sqrt(2) + 1) + (sqrt(2) + 1)^2 On pose a = 2x - sqrt(2) et b = sqrt(2) + 1. Step 2: Appliquer l'identité remarquable (a-b)^2. F(x) = ( (2x - sqrt(2)) - (sqrt(2) + 1) )^2 Step 3: Simplifier l'expression à l'intérieur des parenthèses. F(x) = (2x - sqrt(2) - sqrt(2) - 1)^2 F(x) = (2x - 2sqrt(2) - 1)^2 Ainsi, F(x) est le carré de l'expression (2x - 2sqrt(2) - 1). F(x) = (2x - 2sqrt(2) - 1)^2 2) Résoudre dans R l'équation : sqrt(F(x)) = 1. Step 1: Substituer F(x) par son expression simplifiée. sqrt((2x - 22) - 1)^2 = 1 Step 2: Simplifier l'expression avec la racine carrée. La racine carrée d'un carré est la valeur absolue : sqrt(A^2) = |A|. |2x - 2sqrt(2) - 1| = 1 Step 3: Résoudre l'équation avec la valeur absolue. Cela signifie que 2x - 2sqrt(2) - 1 = 1 ou 2x - 2sqrt(2) - 1 = -1. Step 4: Résoudre la première équation. 2x - 2sqrt(2) - 1 = 1 2x = 1 + 2sqrt(2) + 1 2x = 2 + 2sqrt(2) x = 2 + 2sqrt(2)2 x = 1 + sqrt(2) Step 5: Résoudre la deuxième équation. 2x - 2sqrt(2) - 1 = -1 2x = -1 + 2sqrt(2) + 1 2x = 2sqrt(2) x = 2sqrt(2)2 x = sqrt(2) L'ensemble des solutions est S = \sqrt(2) ; 1 + sqrt(2)\. S = \sqrt(2) ; 1 + sqrt(2)\ 3) Soit la fonction G(x) = |2x - 1| - 1. Écrire G(x) sans valeur absolue. Step 1: Déterminer les cas pour la valeur absolue. La valeur absolue |2x - 1| change de définition selon le signe de 2x - 1. • Si 2x - 1 0, c'est-à-dire x (1)/(2), alors |2x - 1| = 2x - 1. • Si 2x - 1 < 0, c'est-à-dire x < (1)/(2), alors |2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1. Step 2: Écrire G(x) pour le premier cas (x (1)/(2)). G(x) = (2x - 1) - 1 G(x) = 2x - 2 Step 3: Écrire G(x) pour le second cas (x < (1)/(2)). G(x) = (-2x + 1) - 1 G(x) = -2x L'expression de G(x) sans valeur absolue est : G(x) = 2x - 2 & si x (1)/(2) \\ -2x & si x < (1)/(2) 4) Représenter graphiquement G(x) dans un repère orthonormé d'unité 2cm. La fonction G(x) est une fonction affine par morceaux. • Pour x (1)/(2), la courbe est la droite d'équation y = 2x - 2. Si x = (1)/(2), y = 2((1)/(2)) - 2 = -1. Le point est ((1)/(2) ; -1). Si x = 1, y = 2(1) - 2 = 0. Le point est (1 ; 0). • Pour x < (1)/(2), la courbe est la droite d'équation y = -2x. Si x = (1)/(2), y = -2((1)/(2)) = -1. Le point est ((1)/(2) ; -1). Si x = 0, y = -2(0) = 0. Le point est (0 ; 0). La représentation graphique est une forme en "V" dont le sommet est le point ((1)/(2) ; -1). La branche de droite (x (1)/(2)) a une pente de 2, et la branche de gauche (x < (1)/(2)) a une pente de -2. L'unité sur les axes est de 2 cm. EXERCICE 2 1) Montrer que B = sqrt(3). Soit l'expression B = sqrt(75) + sqrt(48) - sqrt(192). Step 1: Simplifier chaque terme de l'expression. sqrt(75) = sqrt(25 × 3) = 5sqrt(3) sqrt(48) = sqrt(16 × 3) = 4sqrt(3) sqrt(192) = sqrt(64 × 3) = 8sqrt(3) Step 2: Substituer les formes simplifiées dans l'expression de B. B = 5sqrt(3) + 4sqrt(3) - 8sqrt(3) Step 3: Effectuer l'addition et la soustraction. B = (5 + 4 - 8)sqrt(3) B = (9 - 8)sqrt(3) B = 1sqrt(3) B = sqrt(3) 2) Calculer la valeur numérique de l'expression suivante : C = (2x)/(2-x) - (2-x)/(2x) pour x = sqrt(3). Step 1: Simplifier l'expression C en la mettant au même dénominateur. C = (2x · (2x))/((2-x) · (2x)) - ((2-x) · (2-x))/((2x) · (2-x)) C = (4x^2 - (2-x)^2)/(2x(2-x)) Step 2: Développer le numérateur et le dénominateur. C = (4x^2 - (4 - 4x + x^2))/(4x - 2x^2) C = (4x^2 - 4 + 4x - x^2)/(4x - 2x^2) C = (3x^2 + 4x - 4)/(4x - 2x^2) Step 3: Substituer x = sqrt(3) dans l'expression simplifiée. On a x^2 = (sqrt(3))^2 = 3. Numérateur : 3(3) + 4sqrt(3) - 4 = 9 + 4sqrt(3) - 4 = 5 + 4sqrt(3). Dénominateur : 4sqrt(3) - 2(3) = 4sqrt(3) - 6. C = 5 + 4sqrt(3)4sqrt(3) - 6 Step 4: Rationaliser le dénominateur en multipliant par le conjugué. C = (5 + 4sqrt(3))(4sqrt(3) + 6)(4sqrt(3) - 6)(4sqrt(3) + 6) Step 5: Développer le numérateur. (5 + 4sqrt(3))(4sqrt(3) + 6) = 20sqrt(3) + 30 + 16(3) + 24sqrt(3) = 20sqrt(3) + 30 + 48 + 24sqrt(3) = 78 + 44sqrt(3) Step 6: Développer le dénominateur. (4sqrt(3) - 6)(4sqrt(3) + 6) = (4sqrt(3))^2 - 6^2 = 16 × 3 - 36 = 48 - 36 = 12 Step 7: Écrire l'expression finale et la simplifier. C = 78 + 44sqrt(3)12 C = 39 + 22sqrt(3)6 C = 39 + 22sqrt(3)6 EXERCICE 3 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 2 - sqrt(3) et AC = 2 + sqrt(3). 1) Calculer BC. Step 1: Appliquer le théorème de Pythagore. BC^2 = AB^2 + AC^2 Step 2: Calculer AB^2. AB^2 = (2 - sqrt(3))^2 = 2^2 - 2(2)(sqrt(3)) + (sqrt(3))^2 = 4 - 4sqrt(3) + 3 = 7 - 4sqrt(3) Step 3: Calculer AC^2. AC^2 = (2 + sqrt(3))^2 = 2^2 + 2(2)(sqrt(3)) + (sqrt(3))^2 = 4 + 4sqrt(3) + 3 = 7 + 4sqrt(3) Step 4: Calculer BC^2 puis BC. BC^2 = (7 - 4sqrt(3)) + (7 + 4sqrt(3)) = 14 BC = sqrt(14) BC = sqrt(14) 2) Calculer le périmètre puis l'aire du triangle ABC. Step 1: Calculer le périmètre P. P = AB + AC + BC = (2 - sqrt(3)) + (2 + sqrt(3)) + sqrt(14) P = 4 + sqrt(14) P = 4 + sqrt(14) Step 2: Calculer l'aire A. A = (1)/(2) × AB × AC = (1)/(2) × (2 - sqrt(3)) × (2 + sqrt(3)) A = (1)/(2) × (2^2 - (sqrt(3))^2) = (1)/(2) × (4 - 3) = (1)/(2) × 1 A = (1)/(2) A = (1)/(2) 3) Calculer le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC. Step 1: Identifier la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre de son cercle circonscrit. Step 2: Déduire le diamètre. Le diamètre D est égal à BC. D = sqrt(14) D = sqrt(14) 4) Calculer le périmètre puis l'aire du cercle. Step 1: Déterminer le rayon du cercle. R = (D)/(2) = sqrt(14)2 Step 2: Calculer le périmètre (circonférence) du cercle. C_cercle = D = sqrt(14) C_cercle = sqrt(14) Step 3: Calculer l'aire du cercle. A_cercle = R^2 = (sqrt(14)2)^2 = ((14)/(4)) A_cercle = (7)/(2) A_cercle = (7)/(2) That's 2 down. 3 left today — send the next one.

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