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EXERCICE 1: Soit la fonction F(x)=(2x-√2)²-2(2x-√2)(√2+1)+(√2+1)². 1) Montrer que F(x) est le carré d'une expression. 2) Résoudre dans IR l'équation : √F(x)=1. 3) Soit la fonction G(x)=|2x-1|-1. Ecrire G(x) sans valeur absolue. 4) Représenter graphiquement G(x) dans un repère orthonormé d'unité 2cm.

Mathematics

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Step-by-step solution

32 steps

Voici la résolution des exercices.

Part 1· 11 steps

  1. Montrer que F(x)F(x) est le carré d'une expression. L'expression donnée est de la forme a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2, qui est l'identité remarquable (a−b)2(a-b)^2.

  1. Identifier aa et bb dans l'expression.

    F(x)=(2x−2)2−2(2x−2)(2+1)+(2+1)2F(x) = (2x - \sqrt{2})^2 - 2(2x - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} + 1)^2

    On pose a=2x−2a = 2x - \sqrt{2} et b=2+1b = \sqrt{2} + 1.

  2. Appliquer l'identité remarquable (a−b)2(a-b)^2.

    F(x)=((2x−2)−(2+1))2F(x) = ( (2x - \sqrt{2}) - (\sqrt{2} + 1) )^2

  3. Simplifier l'expression à l'intérieur des parenthèses.

    F(x)=(2x−2−2−1)2F(x) = (2x - \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1)^2 F(x)=(2x−22−1)2F(x) = (2x - 2\sqrt{2} - 1)^2

    Ainsi, F(x)F(x) est le carré de l'expression (2x−22−1)(2x - 2\sqrt{2} - 1).

    F(x)=(2x−22−1)2\boxed{F(x) = (2x - 2\sqrt{2} - 1)^2}
    1. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : F(x)=1\sqrt{F(x)} = 1.

  4. Substituer F(x)F(x) par son expression simplifiée.

    (2x−22−1)2=1\sqrt{(2x - 2\sqrt{2} - 1)^2} = 1

  5. Simplifier l'expression avec la racine carrée.

    La racine carrée d'un carré est la valeur absolue : A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A|.

    ∣2x−22−1∣=1|2x - 2\sqrt{2} - 1| = 1

  6. Résoudre l'équation avec la valeur absolue.

    Cela signifie que 2x−22−1=12x - 2\sqrt{2} - 1 = 1 ou 2x−22−1=−12x - 2\sqrt{2} - 1 = -1.

  7. Résoudre la première équation.

    2x−22−1=12x - 2\sqrt{2} - 1 = 1 2x=1+22+12x = 1 + 2\sqrt{2} + 1 2x=2+222x = 2 + 2\sqrt{2} x=2+222x = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} x=1+2x = 1 + \sqrt{2}

  8. Résoudre la deuxième équation.

    2x−22−1=−12x - 2\sqrt{2} - 1 = -1 2x=−1+22+12x = -1 + 2\sqrt{2} + 1 2x=222x = 2\sqrt{2} x=222x = \frac{2\sqrt{2}}{2} x=2x = \sqrt{2}

    L'ensemble des solutions est S={2;1+2}S = \{\sqrt{2} ; 1 + \sqrt{2}\}.

    S={2;1+2}\boxed{S = \{\sqrt{2} ; 1 + \sqrt{2}\}}
    1. Soit la fonction G(x)=∣2x−1∣−1G(x) = |2x - 1| - 1. Écrire G(x)G(x) sans valeur absolue.

  9. Déterminer les cas pour la valeur absolue.

    La valeur absolue ∣2x−1∣|2x - 1| change de définition selon le signe de 2x−12x - 1.

    • Si 2x−1≥02x - 1 \ge 0, c'est-à-dire x≥12x \ge \frac{1}{2}, alors ∣2x−1∣=2x−1|2x - 1| = 2x - 1.
    • Si 2x−1<02x - 1 < 0, c'est-à-dire x<12x < \frac{1}{2}, alors ∣2x−1∣=−(2x−1)=−2x+1|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1.

  10. Écrire G(x)G(x) pour le premier cas (x≥12x \ge \frac{1}{2}).

    G(x)=(2x−1)−1G(x) = (2x - 1) - 1 G(x)=2x−2G(x) = 2x - 2

  11. Écrire G(x)G(x) pour le second cas (x<12x < \frac{1}{2}).

    G(x)=(−2x+1)−1G(x) = (-2x + 1) - 1 G(x)=−2xG(x) = -2x

    L'expression de G(x)G(x) sans valeur absolue est :

    G(x)={2x−2si x≥12−2xsi x<12\boxed{G(x) = \begin{cases} 2x - 2 & \text{si } x \ge \frac{1}{2} \\ -2x & \text{si } x < \frac{1}{2} \end{cases}}
    1. Représenter graphiquement G(x)G(x) dans un repère orthonormé d'unité 2cm.

    La fonction G(x)G(x) est une fonction affine par morceaux.

    • Pour x≥12x \ge \frac{1}{2}, la courbe est la droite d'équation y=2x−2y = 2x - 2.
      • Si x=12x = \frac{1}{2}, y=2(12)−2=−1y = 2(\frac{1}{2}) - 2 = -1. Le point est (12;−1)(\frac{1}{2} ; -1).
      • Si x=1x = 1, y=2(1)−2=0y = 2(1) - 2 = 0. Le point est (1;0)(1 ; 0).
    • Pour x<12x < \frac{1}{2}, la courbe est la droite d'équation y=−2xy = -2x.
      • Si x=12x = \frac{1}{2}, y=−2(12)=−1y = -2(\frac{1}{2}) = -1. Le point est (12;−1)(\frac{1}{2} ; -1).
      • Si x=0x = 0, y=−2(0)=0y = -2(0) = 0. Le point est (0;0)(0 ; 0). La représentation graphique est une forme en "V" dont le sommet est le point (12;−1)(\frac{1}{2} ; -1). La branche de droite (x≥12x \ge \frac{1}{2}) a une pente de 2, et la branche de gauche (x<12x < \frac{1}{2}) a une pente de -2. L'unité sur les axes est de 2 cm.

Part 2· 10 steps

  1. Montrer que B=3B = \sqrt{3}. Soit l'expression B=75+48−192B = \sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{192}.

  1. Simplifier chaque terme de l'expression.

    75=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} 48=16×3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} 192=64×3=83\sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}

  2. Substituer les formes simplifiées dans l'expression de BB.

    B=53+43−83B = 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 8\sqrt{3}

  3. Effectuer l'addition et la soustraction.

    B=(5+4−8)3B = (5 + 4 - 8)\sqrt{3} B=(9−8)3B = (9 - 8)\sqrt{3} B=13B = 1\sqrt{3} B=3\boxed{B = \sqrt{3}}
    1. Calculer la valeur numérique de l'expression suivante : C=2x2−x−2−x2xC = \frac{2x}{2-x} - \frac{2-x}{2x} pour x=3x = \sqrt{3}.

  4. Simplifier l'expression CC en la mettant au même dénominateur.

    C=2x⋅(2x)(2−x)⋅(2x)−(2−x)⋅(2−x)(2x)⋅(2−x)C = \frac{2x \cdot (2x)}{(2-x) \cdot (2x)} - \frac{(2-x) \cdot (2-x)}{(2x) \cdot (2-x)} C=4x2−(2−x)22x(2−x)C = \frac{4x^2 - (2-x)^2}{2x(2-x)}

  5. Développer le numérateur et le dénominateur.

    C=4x2−(4−4x+x2)4x−2x2C = \frac{4x^2 - (4 - 4x + x^2)}{4x - 2x^2} C=4x2−4+4x−x24x−2x2C = \frac{4x^2 - 4 + 4x - x^2}{4x - 2x^2} C=3x2+4x−44x−2x2C = \frac{3x^2 + 4x - 4}{4x - 2x^2}

  6. Substituer x=3x = \sqrt{3} dans l'expression simplifiée.

    On a x2=(3)2=3x^2 = (\sqrt{3})^2 = 3.
    Numérateur : 3(3)+43−4=9+43−4=5+433(3) + 4\sqrt{3} - 4 = 9 + 4\sqrt{3} - 4 = 5 + 4\sqrt{3}.
    Dénominateur : 43−2(3)=43−64\sqrt{3} - 2(3) = 4\sqrt{3} - 6.

    C=5+4343−6C = \frac{5 + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} - 6}

  7. Rationaliser le dénominateur en multipliant par le conjugué.

    C=(5+43)(43+6)(43−6)(43+6)C = \frac{(5 + 4\sqrt{3})(4\sqrt{3} + 6)}{(4\sqrt{3} - 6)(4\sqrt{3} + 6)}

  8. Développer le numérateur.

    (5+43)(43+6)=203+30+16(3)+243=203+30+48+243=78+443(5 + 4\sqrt{3})(4\sqrt{3} + 6) = 20\sqrt{3} + 30 + 16(3) + 24\sqrt{3} = 20\sqrt{3} + 30 + 48 + 24\sqrt{3} = 78 + 44\sqrt{3}

  9. Développer le dénominateur.

    (43−6)(43+6)=(43)2−62=16×3−36=48−36=12(4\sqrt{3} - 6)(4\sqrt{3} + 6) = (4\sqrt{3})^2 - 6^2 = 16 \times 3 - 36 = 48 - 36 = 12

  10. Écrire l'expression finale et la simplifier.

    C=78+44312C = \frac{78 + 44\sqrt{3}}{12} C=39+2236C = \frac{39 + 22\sqrt{3}}{6} C=39+2236\boxed{C = \frac{39 + 22\sqrt{3}}{6}}

Part 3· 11 steps

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=2−3AB = 2 - \sqrt{3} et AC=2+3AC = 2 + \sqrt{3}.

  1. Calculer BC.

  1. Appliquer le théorème de Pythagore.

    BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2

  2. Calculer AB2AB^2.

    AB2=(2−3)2=22−2(2)(3)+(3)2=4−43+3=7−43AB^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}

  3. Calculer AC2AC^2.

    AC2=(2+3)2=22+2(2)(3)+(3)2=4+43+3=7+43AC^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}

  4. Calculer BC2BC^2 puis BCBC.

    BC2=(7−43)+(7+43)=14BC^2 = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14 BC=14BC = \sqrt{14} BC=14\boxed{BC = \sqrt{14}}
    1. Calculer le périmètre puis l'aire du triangle ABC.

  5. Calculer le périmètre PP.

    P=AB+AC+BC=(2−3)+(2+3)+14P = AB + AC + BC = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{14} P=4+14P = 4 + \sqrt{14} P=4+14\boxed{P = 4 + \sqrt{14}}

  6. Calculer l'aire AA.

    A=12×AB×AC=12×(2−3)×(2+3)A = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times (2 - \sqrt{3}) \times (2 + \sqrt{3}) A=12×(22−(3)2)=12×(4−3)=12×1A = \frac{1}{2} \times (2^2 - (\sqrt{3})^2) = \frac{1}{2} \times (4 - 3) = \frac{1}{2} \times 1 A=12A = \frac{1}{2} A=12\boxed{A = \frac{1}{2}}
    1. Calculer le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC.

  7. Identifier la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle.

    L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre de son cercle circonscrit.

  8. Déduire le diamètre.

    Le diamètre DD est égal à BCBC.

    D=14D = \sqrt{14} D=14\boxed{D = \sqrt{14}}
    1. Calculer le périmètre puis l'aire du cercle.

  9. Déterminer le rayon du cercle.

    R=D2=142R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  10. Calculer le périmètre (circonférence) du cercle.

    Ccercle=πD=π14C_{cercle} = \pi D = \pi \sqrt{14} Ccercle=π14\boxed{C_{cercle} = \pi \sqrt{14}}

  11. Calculer l'aire du cercle.

    Acercle=πR2=π(142)2=π(144)A_{cercle} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{14}{4}\right) Acercle=7π2A_{cercle} = \frac{7\pi}{2} Acercle=7π2\boxed{A_{cercle} = \frac{7\pi}{2}}
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