Exprimer z = (2-i)/(1+2i) sous la forme a+bi et calculer |z2| et (z2).

Michou, let's knock this out. 4. (a)(i) Exprimer z sous la forme a+bi. On a z = (2-i)/(1+2i). Pour exprimer z sous la forme a+bi, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué de 1+2i est 1-2i. z = (2-i)/(1+2i) × (1-2i)/(1-2i) z = ((2-i)(1-2i))/((1+2i)(1-2i)) Développons le numérateur : (2-i)(1-2i) = 2(1) + 2(-2i) - i(1) - i(-2i) = 2 - 4i - i + 2i^2 Puisque i^2 = -1 : = 2 - 5i + 2(-1) = 2 - 5i - 2 = -5i Développons le dénominateur : (1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 Puisque i^2 = -1 : = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 Donc, z = (-5i)/(5) z = -i Sous la forme a+bi, z = 0 - 1i. L'expression de z sous la forme a+bi est 0 - i. 4. (a)(ii) Calculer |z^2| et (z^2). D'après la partie (a)(i), z = -i. Calculons d'abord z^2: z^2 = (-i)^2 = i^2 = -1 Donc z^2 = -1 + 0i. Calculons le module |z^2| : Pour un nombre complexe w = x+yi, le module est |w| = sqrt(x^2+y^2). Pour z^2 = -1 + 0i, x = -1 et y = 0. |z^2| = sqrt((-1)^2 + (0)^2) |z^2| = sqrt(1 + 0) |z^2| = sqrt(1) |z^2| = 1 Calculons l'argument (z^2) : Pour z^2 = -1 + 0i, le nombre se situe sur l'axe réel négatif dans le plan complexe. L'argument est l'angle que fait le vecteur représentant le nombre complexe avec l'axe réel positif. Pour un nombre réel négatif, l'argument est radians. Le module |z^2| est 1 et l'argument (z^2) est . 4. (b) Montrer qu'une racine de l'équation 2x^3 - 5x + 1 = 0 se trouve dans l'intervalle 1 x 2. En prenant 1.5 comme première approximation, utiliser la méthode de Newton-Raphson une fois pour trouver la deuxième approximation à 3 décimales près. Étape 1 : Montrer qu'une racine se trouve dans l'intervalle 1 x 2. Soit f(x) = 2x^3 - 5x + 1. Calculons f(x) aux bornes de l'intervalle : f(1) = 2(1)^3 - 5(1) + 1 = 2 - 5 + 1 = -2 f(2) = 2(2)^3 - 5(2) + 1 = 2(8) - 10 + 1 = 16 - 10 + 1 = 7 Puisque f(1) = -2 (négatif) et f(2) = 7 (positif), et que f(x) est une fonction continue (polynôme), il existe une racine dans l'intervalle [1, 2] d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Étape 2 : Appliquer la méthode de Newton-Raphson. La formule de Newton-Raphson est x_n+1 = x_n - (f(x_n))/(f'(x_n)). Nous avons f(x) = 2x^3 - 5x + 1. Calculons la dérivée f'(x) : f'(x) = (d)/(dx)(2x^3 - 5x + 1) = 6x^2 - 5 La première approximation est x_0 = 1.5. Calculons f(x_0) : f(1.5) = 2(1.5)^3 - 5(1.5) + 1 f(1.5) = 2(3.375) - 7.5 + 1 f(1.5) = 6.75 - 7.5 + 1 = 0.25 Calculons f'(x_0) : f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 5 f'(1.5) = 6(2.25) - 5 f'(1.5) = 13.5 - 5 = 8.5 Appliquons la formule pour trouver la deuxième approximation x_1 : x_1 = x_0 - (f(x_0))/(f'(x_0)) x_1 = 1.5 - (0.25)/(8.5) x_1 = 1.5 - 0.02941176... x_1 = 1.470588... Arrondissons à 3 décimales : x_1 ≈ 1.471 La deuxième approximation est 1.471. Envoie-moi la prochaine 📸