Exprimer z = (2−i)/(1+2i) sous la forme a+bi et calculer |z2| et (z2).

4. (a)(i) Exprimer $z$ sous la forme $a+bi$.
On a $z = \frac{2-i}{1+2i}$.
Pour exprimer $z$ sous la forme $a+bi$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué de $1+2i$ est $1-2i$.

$$z = \frac{2-i}{1+2i} \times \frac{1-2i}{1-2i}$$ $$z = \frac{(2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$$

Développons le numérateur :

$$(2-i)(1-2i) = 2(1) + 2(-2i) - i(1) - i(-2i)$$ $$= 2 - 4i - i + 2i^2$$

Puisque $i^2 = -1$ :

$$= 2 - 5i + 2(-1)$$ $$= 2 - 5i - 2$$ $$= -5i$$

Développons le dénominateur :

$$(1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2$$ $$= 1 - 4i^2$$

Puisque $i^2 = -1$ :

$$= 1 - 4(-1)$$ $$= 1 + 4$$ $$= 5$$

Donc,

$$z = \frac{-5i}{5}$$ $$z = -i$$

Sous la forme $a+bi$, $z = 0 - 1i$.

L'expression de $z$ sous la forme $a+bi$ est $\boxed{0 - i}$.

4. (a)(ii) Calculer $|z^2|$ et $\arg(z^2)$.
D'après la partie (a)(i), $z = -i$.
Calculons d'abord $z^2$:

$$z^2 = (-i)^2 = i^2 = -1$$

Donc $z^2 = -1 + 0i$.

Calculons le module $|z^2|$ :
Pour un nombre complexe $w = x+yi$, le module est $|w| = \sqrt{x^2+y^2}$.
Pour $z^2 = -1 + 0i$, $x = -1$ et $y = 0$.

$$|z^2| = \sqrt{(-1)^2 + (0)^2}$$ $$|z^2| = \sqrt{1 + 0}$$ $$|z^2| = \sqrt{1}$$ $$|z^2| = 1$$

Calculons l'argument $\arg(z^2)$ :
Pour $z^2 = -1 + 0i$, le nombre se situe sur l'axe réel négatif dans le plan complexe.
L'argument est l'angle que fait le vecteur représentant le nombre complexe avec l'axe réel positif.
Pour un nombre réel négatif, l'argument est $\pi$ radians.

Le module $|z^2|$ est $\boxed{1}$ et l'argument $\arg(z^2)$ est $\boxed{\pi}$.

4. (b) Montrer qu'une racine de l'équation $2x^3 - 5x + 1 = 0$ se trouve dans l'intervalle $1 \le x \le 2$. En prenant 1.5 comme première approximation, utiliser la méthode de Newton-Raphson une fois pour trouver la deuxième approximation à 3 décimales près.