احسب القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترات المعطاة: f(x) = 3x2 − 8x على الفترة [-1, 2]. f(x) = sqrt(x) على الفترة [0, 4].

صيغة القيمة المتوسطة للدالة $f(x)$ على الفترة $[a, b]$ هي:

$$f_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$$

في هذه المسألة، $a = -1$ و $b = 2$ و $f(x) = 3x^2 - 8x$.

$$f_{avg} = \frac{1}{2 - (-1)} \int_{-1}^2 (3x^2 - 8x) dx$$ $$f_{avg} = \frac{1}{3} \int_{-1}^2 (3x^2 - 8x) dx$$

الدالة الأصلية لـ $3x^2 - 8x$ هي $x^3 - 4x^2$.

$$\int (3x^2 - 8x) dx = x^3 - 4x^2$$

نطبق حدود التكامل من $-1$ إلى 2:

$$\left[ x^3 - 4x^2 \right]_{-1}^2 = \left( (2)^3 - 4(2)^2 \right) - \left( (-1)^3 - 4(-1)^2 \right)$$ $$= \left( 8 - 4(4) \right) - \left( -1 - 4(1) \right)$$ $$= \left( 8 - 16 \right) - \left( -1 - 4 \right)$$ $$= (-8) - (-5)$$ $$= -8 + 5$$ $$= -3$$

$$f_{avg} = \frac{1}{3} (-3)$$ $$f_{avg} = -1$$

إذن، القيمة المتوسطة للدالة هي:

$$\boxed{-1}$$

---

المسألة 2: حساب القيمة المتوسطة للدالة $f(x) = \sqrt{x}$ على الفترة $[0, 4]$.

$$f_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$$

في هذه المسألة، $a = 0$ و $b = 4$ و $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

$$f_{avg} = \frac{1}{4 - 0} \int_0^4 \sqrt{x} dx$$ $$f_{avg} = \frac{1}{4} \int_0^4 x^{1/2} dx$$

الدالة الأصلية لـ $x^{1/2}$ هي $\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$.

$$\int x^{1/2} dx = \frac{2}{3} x^{3/2}$$

نطبق حدود التكامل من 0 إلى 4:

$$\left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^4 = \left( \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right)$$ $$= \left( \frac{2}{3} (\sqrt{4})^3 \right) - (0)$$ $$= \left( \frac{2}{3} (2)^3 \right)$$ $$= \left( \frac{2}{3} (8) \right)$$ $$= \frac{16}{3}$$

$$f_{avg} = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{3} \right)$$ $$f_{avg} = \frac{16}{12}$$ $$f_{avg} = \frac{4}{3}$$

إذن، القيمة المتوسطة للدالة هي:

$$\boxed{\frac{4}{3}}$$

---

المسألة 3: حساب القيمة المتوسطة للدالة $g(x) = \cos x$ على الفترة $[0, \pi/2]$.

$$g_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) dx$$

في هذه المسألة، $a = 0$ و $b = \pi/2$ و $g(x) = \cos x$.

$$g_{avg} = \frac{1}{\frac{\pi}{2} - 0} \int_0^{\pi/2} \cos x dx$$ $$g_{avg} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\pi/2} \cos x dx$$ $$g_{avg} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos x dx$$

الدالة الأصلية لـ $\cos x$ هي $\sin x$.

$$\int \cos x dx = \sin x$$

نطبق حدود التكامل من 0 إلى $\pi/2$:

$$\left[ \sin x \right]_0^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0)$$ $$= 1 - 0$$ $$= 1$$

$$g_{avg} = \frac{2}{\pi} (1)$$ $$g_{avg} = \frac{2}{\pi}$$

إذن، القيمة المتوسطة للدالة هي:

$$\boxed{\frac{2}{\pi}}$$