![احسب القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترات المعطاة: f(x) = 3x2 - 8x على الفترة [-1, 2]. f(x) = sqrt(x) على الفترة [0, 4].](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fohijasnjvprzodcmxltt.supabase.co%2Fstorage%2Fv1%2Fobject%2Fpublic%2Fwhatsapp-images%2F1778055437100-3c0281552ad556ad.png&w=3840&q=75)
This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
بالتأكيد، سأقوم بحل المسائل الثلاثة المعروضة في الصورة. --- المسألة 1: حساب القيمة المتوسطة للدالة f(x) = 3x^2 - 8x على الفترة [-1, 2]. Step 1: كتابة صيغة القيمة المتوسطة للدالة. صيغة القيمة المتوسطة للدالة f(x) على الفترة [a, b] هي: f_avg = (1)/(b-a) _a^b f(x) dx في هذه المسألة، a = -1 و b = 2 و f(x) = 3x^2 - 8x. Step 2: تعويض القيم في الصيغة. f_avg = (1)/(2 - (-1)) _-1^2 (3x^2 - 8x) dx f_avg = (1)/(3) _-1^2 (3x^2 - 8x) dx Step 3: إيجاد الدالة الأصلية (antiderivative) للمكاملة. الدالة الأصلية لـ 3x^2 - 8x هي x^3 - 4x^2. (3x^2 - 8x) dx = x^3 - 4x^2 Step 4: تقييم التكامل المحدد. نطبق حدود التكامل من -1 إلى 2: [ x^3 - 4x^2 ]_-1^2 = ( (2)^3 - 4(2)^2 ) - ( (-1)^3 - 4(-1)^2 ) = ( 8 - 4(4) ) - ( -1 - 4(1) ) = ( 8 - 16 ) - ( -1 - 4 ) = (-8) - (-5) = -8 + 5 = -3 Step 5: ضرب النتيجة بالثابت (1)/(3). f_avg = (1)/(3) (-3) f_avg = -1 إذن، القيمة المتوسطة للدالة هي: -1 --- المسألة 2: حساب القيمة المتوسطة للدالة f(x) = sqrt(x) على الفترة [0, 4]. Step 1: كتابة صيغة القيمة المتوسطة للدالة. f_avg = (1)/(b-a) _a^b f(x) dx في هذه المسألة، a = 0 و b = 4 و f(x) = sqrt(x) = x^1/2. Step 2: تعويض القيم في الصيغة. f_avg = (1)/(4 - 0) _0^4 sqrt(x) dx f_avg = (1)/(4) _0^4 x^1/2 dx Step 3: إيجاد الدالة الأصلية للمكاملة. الدالة الأصلية لـ x^1/2 هي x^1/2+11/2+1 = x^3/23/2 = (2)/(3) x^3/2. x^1/2 dx = (2)/(3) x^3/2 Step 4: تقييم التكامل المحدد. نطبق حدود التكامل من 0 إلى 4: [ (2)/(3) x^3/2 ]_0^4 = ( (2)/(3) (4)^3/2 ) - ( (2)/(3) (0)^3/2 ) = ( (2)/(3) (sqrt(4))^3 ) - (0) = ( (2)/(3) (2)^3 ) = ( (2)/(3) (8) ) = (16)/(3) Step 5: ضرب النتيجة بالثابت (1)/(4). f_avg = (1)/(4) ( (16)/(3) ) f_avg = (16)/(12) f_avg = (4)/(3) إذن، القيمة المتوسطة للدالة هي: (4)/(3) --- المسألة 3: حساب القيمة المتوسطة للدالة g(x) = x على الفترة [0, /2]. Step 1: كتابة صيغة القيمة المتوسطة للدالة. g_avg = (1)/(b-a) _a^b g(x) dx في هذه المسألة، a = 0 و b = /2 و g(x) = x. Step 2: تعويض القيم في الصيغة. g_avg = (1)/()2 - 0 _0^/2 x dx g_avg = (1)/()2 _0^/2 x dx g_avg = (2)/() _0^/2 x dx Step 3: إيجاد الدالة الأصلية للمكاملة. الدالة الأصلية لـ x هي x. x dx = x Step 4: تقييم التكامل المحدد. نطبق حدود التكامل من 0 إلى /2: [ x ]_0^/2 = (()/(2)) - (0) = 1 - 0 = 1 Step 5: ضرب النتيجة بالثابت (2)/(). g_avg = (2)/() (1) g_avg = (2)/() إذن، القيمة المتوسطة للدالة هي: (2)/() Last free one today — make it count tomorrow, or type /upgrade for unlimited.