यदि Δf(x) = e^ax+b, तो f(0), Δf(0) और Δ2 f(0) हैं:

Step 1: दिए गए फलन की व्याख्या करें। प्रश्न में कहा गया है कि f(x) = e^ax+b। हालाँकि, इस प्रकार के प्रश्नों में, आमतौर पर यह माना जाता है कि फलन स्वयं f(x) = e^ax+b है, और फिर उसके अंतर (differences) की गणना की जाती है। यदि f(x) दिया गया है, तो f(0) का मान अद्वितीय नहीं होगा, जिससे एक निश्चित संबंध स्थापित करना मुश्किल हो जाएगा। इसलिए, हम यह मानकर आगे बढ़ेंगे कि f(x) = e^ax+b है। Step 2: f(0) का मान ज्ञात करें। फलन f(x) = e^ax+b में x=0 रखने पर: f(0) = e^a(0)+b = e^b Step 3: f(0) का मान ज्ञात करें। फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर को f(x) = f(x+h) - f(x) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ h स्टेप साइज़ है। x=0 पर f(0) का मान ज्ञात करने के लिए: f(0) = f(0+h) - f(0) = f(h) - f(0) f(h) = e^ah+b। इसलिए, f(0) = e^ah+b - e^b f(0) = e^b(e^ah - 1) Step 4: ^2 f(0) का मान ज्ञात करें। दूसरा फॉरवर्ड डिफरेंस ^2 f(x) = ( f(x)) है। ^2 f(x) = (e^ax+b(e^ah - 1)) चूंकि (e^ah - 1) एक स्थिरांक है, इसे बाहर निकाला जा सकता है: ^2 f(x) = (e^ah - 1) (e^ax+b) हम जानते हैं कि (e^ax+b) = e^ax+b(e^ah - 1)। इसलिए, ^2 f(x) = (e^ah - 1) [e^ax+b(e^ah - 1)] ^2 f(x) = e^ax+b(e^ah - 1)^2 अब x=0 पर मान ज्ञात करें: ^2 f(0) = e^a(0)+b(e^ah - 1)^2 ^2 f(0) = e^b(e^ah - 1)^2 Step 5: f(0), f(0), और ^2 f(0) के बीच संबंध निर्धारित करें। हमारे पास तीन पद हैं: पहला पद: A = f(0) = e^b दूसरा पद: B = f(0) = e^b(e^ah - 1) तीसरा पद: C = ^2 f(0) = e^b(e^ah - 1)^2 एक अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression, GP) में होता है यदि लगातार पदों का अनुपात समान हो (अर्थात, B/A = C/B)। पहले दो पदों का अनुपात: (B)/(A) = e^b(e^ah - 1)e^b = e^ah - 1 दूसरे और तीसरे पदों का अनुपात: (C)/(B) = e^b(e^ah - 1)^2e^b(e^ah - 1) = e^ah - 1 चूंकि दोनों अनुपात समान हैं, f(0), f(0), और ^2 f(0) गुणोत्तर श्रेणी में हैं। यह तब भी सत्य है जब e^ah-1=0 (अर्थात a=0), क्योंकि उस स्थिति में अनुक्रम e^b, 0, 0 होगा, जो एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात 0 है। The final answer is (2) गुणोत्तर श्रेणी में. अगला प्रश्न भेजें 📸