यदि Δf(x) = e^ax+b, तो f(0), Δf(0) और Δ2 f(0) हैं:

प्रश्न में कहा गया है कि $\Delta f(x) = e^{ax+b}$। हालाँकि, इस प्रकार के प्रश्नों में, आमतौर पर यह माना जाता है कि फलन स्वयं $f(x) = e^{ax+b}$ है, और फिर उसके अंतर (differences) की गणना की जाती है। यदि $\Delta f(x)$ दिया गया है, तो $f(0)$ का मान अद्वितीय नहीं होगा, जिससे एक निश्चित संबंध स्थापित करना मुश्किल हो जाएगा। इसलिए, हम यह मानकर आगे बढ़ेंगे कि $f(x) = e^{ax+b}$ है।

फलन $f(x) = e^{ax+b}$ में $x=0$ रखने पर:

फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\Delta$ को $\Delta f(x) = f(x+h) - f(x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $h$ स्टेप साइज़ है।
$x=0$ पर $\Delta f(0)$ का मान ज्ञात करने के लिए:

$f(h) = e^{ah+b}$।
इसलिए,

दूसरा फॉरवर्ड डिफरेंस $\Delta^2 f(x) = \Delta(\Delta f(x))$ है।

चूंकि $(e^{ah} - 1)$ एक स्थिरांक है, इसे बाहर निकाला जा सकता है:

हम जानते हैं कि $\Delta(e^{ax+b}) = e^{ax+b}(e^{ah} - 1)$।
इसलिए,

अब $x=0$ पर मान ज्ञात करें:

हमारे पास तीन पद हैं:
पहला पद: $A = f(0) = e^b$
दूसरा पद: $B = \Delta f(0) = e^b(e^{ah} - 1)$
तीसरा पद: $C = \Delta^2 f(0) = e^b(e^{ah} - 1)^2$

एक अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression, GP) में होता है यदि लगातार पदों का अनुपात समान हो (अर्थात, $B/A = C/B$)।
पहले दो पदों का अनुपात:

दूसरे और तीसरे पदों का अनुपात:

चूंकि दोनों अनुपात समान हैं, $f(0)$, $\Delta f(0)$, और $\Delta^2 f(0)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं। यह तब भी सत्य है जब $e^{ah}-1=0$ (अर्थात $a=0$), क्योंकि उस स्थिति में अनुक्रम $e^b, 0, 0$ होगा, जो एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात 0 है।

The final answer is $\text{(2) गुणोत्तर श्रेणी में}$.