Factor the following quadratic expressions: 1) 12x2 - 7x + 1 2) 2x2 + 7x + 3 3) 6x2 + 5x - 6 4) 3x2 - 4 - x

અહીં દરેક પદાવલિ માટે અવયવીકરણ આપેલું છે:

1) $12x^2 - 7x + 1$
પગલું 1: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $12 \times 1 = 12$ હોય અને સરવાળો $-7$ હોય. આ સંખ્યાઓ $-3$ અને $-4$ છે.
પગલું 2: મધ્યમ પદને આ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને વિભાજીત કરો.

$$12x^2 - 3x - 4x + 1$$

પગલું 3: પદોને જૂથબદ્ધ કરો અને સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો.

$$3x(4x - 1) - 1(4x - 1)$$

પગલું 4: સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ બહાર કાઢો.

$$\boxed{(3x - 1)(4x - 1)}$$

2) $2x^2 + 7x + 3$
પગલું 1: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ હોય અને સરવાળો 7 હોય. આ સંખ્યાઓ 1 અને 6 છે.
પગલું 2: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરો.

$$2x^2 + x + 6x + 3$$

પગલું 3: પદોને જૂથબદ્ધ કરો અને અવયવ પાડો.

$$x(2x + 1) + 3(2x + 1)$$

પગલું 4: સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ બહાર કાઢો.

$$\boxed{(x + 3)(2x + 1)}$$

3) $6x^2 + 5x - 6$
પગલું 1: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $6 \times (-6) = -36$ હોય અને સરવાળો 5 હોય. આ સંખ્યાઓ 9 અને $-4$ છે.
પગલું 2: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરો.

$$6x^2 + 9x - 4x - 6$$

પગલું 3: પદોને જૂથબદ્ધ કરો અને અવયવ પાડો.

$$3x(2x + 3) - 2(2x + 3)$$

પગલું 4: સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ બહાર કાઢો.

$$\boxed{(3x - 2)(2x + 3)}$$

4) $3x^2 - 4 - x$
પગલું 1: પદોને પ્રમાણભૂત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં ગોઠવો.

$$3x^2 - x - 4$$

પગલું 2: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $3 \times (-4) = -12$ હોય અને સરવાળો $-1$ હોય. આ સંખ્યાઓ $-4$ અને 3 છે.
પગલું 3: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરો.

$$3x^2 - 4x + 3x - 4$$

પગલું 4: પદોને જૂથબદ્ધ કરો અને અવયવ પાડો.

$$x(3x - 4) + 1(3x - 4)$$

પગલું 5: સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ બહાર કાઢો.

$$\boxed{(x + 1)(3x - 4)}$$

5) $x^2 + 7x + 10$
પગલું 1: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $1 \times 10 = 10$ હોય અને સરવાળો 7 હોય. આ સંખ્યાઓ 2 અને 5 છે.
પગલું 2: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરો.

$$x^2 + 2x + 5x + 10$$

પગલું 3: પદોને જૂથબદ્ધ કરો અને અવયવ પાડો.

$$x(x + 2) + 5(x + 2)$$

પગલું 4: સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ બહાર કાઢો.

$$\boxed{(x + 5)(x + 2)}$$

6) $x^2 - 2x - 8$
પગલું 1: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $1 \times (-8) = -8$ હોય અને સરવાળો $-2$ હોય. આ સંખ્યાઓ $-4$ અને 2 છે.
પગલું 2: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરો.

$$x^2 - 4x + 2x - 8$$

પગલું 3: પદોને જૂથબદ્ધ કરો અને અવયવ પાડો.

$$x(x - 4) + 2(x - 4)$$

પગલું 4: સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ બહાર કાઢો.

$$\boxed{(x + 2)(x - 4)}$$

7) $4t^2 - 4t + 1$
પગલું 1: આને $(at - b)^2$ સ્વરૂપની પૂર્ણ વર્ગ ત્રિપદી તરીકે ઓળખો.
પગલું 2: $a$ અને $b$ ને ઓળખો. અહીં $a^2 = 4 \implies a = 2$ અને $b^2 = 1 \implies b = 1$.
પગલું 3: અવયવિત સ્વરૂપ લખો.

$$\boxed{(2t - 1)^2}$$

8) $6x^2 - 3 - 7x$
પગલું 1: પદોને પ્રમાણભૂત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં ગોઠવો.

$$6x^2 - 7x - 3$$

પગલું 2: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $6 \times (-3) = -18$ હોય અને સરવાળો $-7$ હોય. આ સંખ્યાઓ $-9$ અને 2 છે.
પગલું 3: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરો.

$$6x^2 - 9x + 2x - 3$$

પગલું 4: પદોને જૂથબદ્ધ કરો અને અવયવ પાડો.

$$3x(2x - 3) + 1(2x - 3)$$

પગલું 5: સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ બહાર કાઢો.

$$\boxed{(3x + 1)(2x - 3)}$$

9) $3x^2 - x - 4$
પગલું 1: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $3 \times (-4) = -12$ હોય અને સરવાળો $-1$ હોય. આ સંખ્યાઓ $-4$ અને 3 છે.
પગલું 2: મધ્યમ પદને વિભાજીત કરો.

$$3x^2 - 4x + 3x - 4$$

પ