This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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EXERCICE 3.1 a) Calcul de P(A B) Step 1: Formule d'inclusion-exclusion P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Step 2: Substitution des valeurs P(A B) = 0,2 + 0,3 - 0,1 Step 3: Simplification P(A B) = 0,4 ou en fraction P(A B) = (1)/(5) + (3)/(10) - (1)/(10) = (2)/(10) + (3)/(10) - (1)/(10) = (4)/(10) = (2)/(5) (2)/(5) b) Calcul de P(A|B) Step 1: Formule de probabilité conditionnelle P(A|B) = (P(A B))/(P(B)) Step 2: Substitution P(A|B) = 0,10,3 Step 3: Simplification P(A|B) = (1/10)/(3/10) = (1)/(3) (1)/(3) c) Indépendance ? Step 1: Condition d'indépendance P(A B) ?= P(A) · P(B) Step 2: Calcul du produit P(A) · P(B) = 0,2 × 0,3 = 0,06 Step 3: Comparaison 0,06 ≠ 0,1 Les événements A et B ne sont pas indépendants. EXERCICE 3.2 Carré ABCD de côté 6 cm. M milieu de [AB], N milieu de [BC]. Aire du quadrilatère AMNC (unités en cm²). Step 1: Coordonnées (A en (0,0), B(6,0), C(6,6), D(0,6)) M(3,0), N(6,3). Step 2: Formule de l'aire d'un polygone (Schoelace) Points : A(0,0), M(3,0), N(6,3), C(6,6), A(0,0) x_i y_i+1 = 0·0 + 3·3 + 6·6 + 6·0 = 0 + 9 + 36 + 0 = 45 y_i x_i+1 = 0·3 + 0·6 + 3·6 + 6·0 = 0 + 0 + 18 + 0 = 18 Aire = (|45 - 18|)/(2) = (27)/(2) = 13,5 \, cm^2 Vérification par intégration : De x=0 à 3 : hauteur y = x - 0 _0^3 x \, dx = [ (x^2)/(2) ]_0^3 = (9)/(2) = 4,5 De x=3 à 6 : hauteur x - (x-3) = 3 _3^6 3 \, dx = 3 · 3 = 9 Total : 4,5 + 9 = 13,5 \, cm^2 Autre méthode : aire carré 36 \, cm^2 moins MBN. Base MB=3 cm, hauteur 3 cm : Aire \, MBN = (1)/(2) · 3 · 3 = 4,5 \, cm^2 Le reste n'est pas juste ce triangle (autre région), mais shoelace confirme. 13,5 \, cm^2 EXERCICE 3.3 ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Calculer B, B, B. Step 1: Identification (angle en B) Côté opposé à B : AC = 4 cm Côté adjacent à B : AB = 3 cm Hypoténuse : BC = 5 cm Step 2: B B = ( opposé)/( hypoténuse) = (4)/(5) Step 3: B B = ( adjacent)/( hypoténuse) = (3)/(5) Step 4: B B = ( opposé)/( adjacent) = (4)/(3) B = (4)/(5), B = (3)/(5), B = (4)/(3)