Justify that (x-3)(69x-2) = 69x2 - 209x + 6. Determine the values of the variable x for which P exists. For x != -3 and x != 3, show that P(x+3) = 69x-2. Deduce the number of corn bags Bory can buy with 50,000 CFA.

EXERCICE 3.1

a) Calcul de $P(A \cup B)$

Step 1: Formule d'inclusion-exclusion
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Step 2: Substitution des valeurs
$P(A \cup B) = 0{,}2 + 0{,}3 - 0{,}1$

Step 3: Simplification
$P(A \cup B) = 0{,}4$
ou en fraction
$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

\dfrac{2{5}}

b) Calcul de $P(A|B)$

Step 1: Formule de probabilité conditionnelle
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Step 2: Substitution
$P(A|B) = \frac{0{,}1}{0{,}3}$

Step 3: Simplification
$P(A|B) = \frac{1/10}{3/10} = \frac{1}{3}$

\dfrac{1{3}}

c) Indépendance ?

Step 1: Condition d'indépendance
$P(A \cap B) \overset{?}{=} P(A) \cdot P(B)$

Step 2: Calcul du produit
$P(A) \cdot P(B) = 0{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}06$

Step 3: Comparaison
$0{,}06 \neq 0{,}1$
Les événements A et B ne sont pas indépendants.

EXERCICE 3.2
Carré ABCD de côté $6$ cm. M milieu de $[AB]$, N milieu de $[BC]$. Aire du quadrilatère AMNC (unités en cm²).

Step 1: Coordonnées (A en $(0,0)$, B$(6,0)$, C$(6,6)$, D$(0,6)$)
M$(3,0)$, N$(6,3)$.

Step 2: Formule de l'aire d'un polygone (Schoelace)
Points : A$(0,0)$, M$(3,0)$, N$(6,3)$, C$(6,6)$, A$(0,0)$
$\sum x_i y_{i+1} = 0\cdot0 + 3\cdot3 + 6\cdot6 + 6\cdot0 = 0 + 9 + 36 + 0 = 45$
$\sum y_i x_{i+1} = 0\cdot3 + 0\cdot6 + 3\cdot6 + 6\cdot0 = 0 + 0 + 18 + 0 = 18$
${\rm Aire} = \frac{|45 - 18|}{2} = \frac{27}{2} = 13{,}5 \, \rm cm^2$

Vérification par intégration :
De $x=0$ à $3$ : hauteur $y = x - 0$
$\int_0^3 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = \frac{9}{2} = 4{,}5$
De $x=3$ à $6$ : hauteur $x - (x-3) = 3$
$\int_3^6 3 \, dx = 3 \cdot 3 = 9$
Total : $4{,}5 + 9 = 13{,}5 \, \rm cm^2$

Autre méthode : aire carré $36 \, \rm cm^2$ moins $\triangle MBN$.
Base MB$=3$ cm, hauteur $3$ cm :
${\rm Aire} \, \triangle MBN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5 \, \rm cm^2$
Le reste n'est pas juste ce triangle (autre région), mais shoelace confirme.

13{,5 \rm , cm^{2}}

EXERCICE 3.3
$\triangle ABC$ rectangle en A, AB $= 3$ cm, AC $= 4$ cm, BC $= 5$ cm. Calculer $\sin B$, $\cos B$, $\tan B$.

Step 1: Identification (angle en B)
Côté opposé à B : AC $= 4$ cm
Côté adjacent à B : AB $= 3$ cm
Hypoténuse : BC $= 5$ cm

Step 2: $\sin B$
$\sin B = \frac{\rm opposé}{\rm hypoténuse} = \frac{4}{5}$

Step 3: $\cos B$
$\cos B = \frac{\rm adjacent}{\rm hypoténuse} = \frac{3}{5}$

Step 4: $\tan B$
$\tan B = \frac{\rm opposé}{\rm adjacent} = \frac{4}{3}$

\sin B = \dfrac{4{5}, \quad \cos B = \dfrac{3}{5}, \quad \tan B = \dfrac{4}{3}}