Solve the Fourier series draw and solve

La formule pour $a_0$ est $a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\,dx$. Avec $L=\pi$:

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 1\,dx + \int_{0}^{\pi} 0\,dx \right)$$ $$a_0 = \frac{1}{\pi} \left( [x]_{-\pi}^{0} + 0 \right)$$ $$a_0 = \frac{1}{\pi} (0 - (-\pi))$$ $$a_0 = \frac{\pi}{\pi} = 1$$

La formule pour $a_n$ est $a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$. Avec $L=\pi$:

$$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 1 \cdot \cos(nx)\,dx + \int_{0}^{\pi} 0 \cdot \cos(nx)\,dx \right)$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \cos(nx)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{0}$$ $$a_n = \frac{1}{\pi n} (\sin(0) - \sin(-n\pi))$$

Puisque $\sin(0) = 0$ et $\sin(-n\pi) = 0$ pour tout entier $n$:

$$a_n = \frac{1}{\pi n} (0 - 0) = 0$$

La formule pour $b_n$ est $b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$. Avec $L=\pi$:

$$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 1 \cdot \sin(nx)\,dx + \int_{0}^{\pi} 0 \cdot \sin(nx)\,dx \right)$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \sin(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{0}$$ $$b_n = -\frac{1}{\pi n} (\cos(0) - \cos(-n\pi))$$

Puisque $\cos(0) = 1$ et $\cos(-n\pi) = \cos(n\pi) = (-1)^n$:

$$b_n = -\frac{1}{\pi n} (1 - (-1)^n)$$ $$b_n = \frac{(-1)^n - 1}{\pi n}$$

Si $n$ est pair, $n=2k$, alors $b_{2k} = \frac{(-1)^{2k} - 1}{\pi (2k)} = \frac{1 - 1}{2k\pi} = 0$.
Si $n$ est impair, $n=2k+1$, alors $b_{2k+1} = \frac{(-1)^{2k+1} - 1}{\pi (2k+1)} = \frac{-1 - 1}{\pi (2k+1)} = \frac{-2}{\pi (2k+1)}$.

La série de Fourier est donnée par $S_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$.
En substituant les coefficients calculés :

$$S_f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( 0 \cdot \cos(nx) + \frac{(-1)^n - 1}{\pi n} \sin(nx) \right)$$ $$S_f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n - 1}{\pi n} \sin(nx)$$

En utilisant la forme simplifiée pour les $b_n$ (seulement les termes impairs sont non nuls) :

$$\boxed{ \mathbf{S_f(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}} }$$

Le graphique de la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $]-\pi ; \pi[$ est le suivant :

• Pour $x$ allant de $-\pi$ à 0 (exclu), la fonction prend la valeur constante 1. Il s'agit d'un segment horizontal à $y=1$.
• Pour $x$ allant de 0 à $\pi$ (exclu), la fonction prend la valeur constante 0. Il s'agit d'un segment horizontal à $y=0$. La fonction est périodique de période $2\pi$, ce motif se répète donc sur l'axe des $x$. Aux points de discontinuité ($x = n\pi$ pour $n \in \mathbb{Z}$), la série de Fourier converge vers la moyenne des limites à gauche et à droite. Par exemple, en $x=0$, $S_f(0) = \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$.