This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: समुच्चय G और द्विआधारी संक्रिया को समझें। समुच्चय G = \z C : |z| = 1\ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं का संग्रह है जिनका मापांक (modulus) 1 है। ये सम्मिश्र संख्याएँ सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त पर स्थित होती हैं। द्विआधारी संक्रिया सम्मिश्र संख्याओं का गुणन (×) है। Step 2: समूह के गुणों की जाँच करें। एक समुच्चय (G, ×) को समूह होने के लिए निम्नलिखित चार गुणों को संतुष्ट करना चाहिए: संवृतता (Closure): यदि z_1, z_2 G, तो क्या z_1 × z_2 G? यदि z_1, z_2 G, तो |z_1| = 1 और |z_2| = 1। सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के मापांक का गुण है |z_1 × z_2| = |z_1| × |z_2|। इसलिए, |z_1 × z_2| = 1 × 1 = 1। अतः, z_1 × z_2 G। संवृतता का गुण संतुष्ट होता है। साहचर्यता (Associativity): सम्मिश्र संख्याओं का गुणन साहचर्य होता है। किसी भी z_1, z_2, z_3 G के लिए, (z_1 × z_2) × z_3 = z_1 × (z_2 × z_3)। साहचर्यता का गुण संतुष्ट होता है। (चूंकि संवृतता और साहचर्यता संतुष्ट हैं, (G, ×) एक सामि समूह (semigroup) है।) तत्समक अवयव (Identity Element): क्या G में कोई तत्समक अवयव e मौजूद है जैसे कि सभी z G के लिए z × e = e × z = z? सम्मिश्र गुणन के लिए तत्समक अवयव 1 है। हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या 1 G है। |1| = 1, इसलिए 1 G। तत्समक अवयव मौजूद है। (चूंकि तत्समक अवयव मौजूद है, (G, ×) एक एकांश (monoid) है।) प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): G के प्रत्येक अवयव z के लिए, क्या G में एक प्रतिलोम अवयव z^-1 मौजूद है जैसे कि z × z^-1 = z^-1 × z = 1? मान लीजिए z G, तो |z| = 1। z का प्रतिलोम z^-1 = (1)/(z) होता है। हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या z^-1 G है। |z^-1| = |(1)/(z)| = (|1|)/(|z|) = (1)/(1) = 1। इसलिए, z^-1 G। प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम G में मौजूद है। Step 3: निष्कर्ष। चूंकि सभी चार समूह गुण (संवृतता, साहचर्यता, तत्समक अवयव, प्रतिलोम अवयव) संतुष्ट होते हैं, इसलिए (G, ×) एक समूह है। Step 4: चक्रीय समूह की जाँच करें। एक समूह चक्रीय होता है यदि उसमें एक जनक (generator) अवयव g हो, जिससे समूह के सभी अवयवों को g की पूर्णांक घातों के रूप में व्यक्त किया जा सके। समुच्चय G में अनंत अवयव हैं (जैसे e^i जहाँ [0, 2))। यह समूह (Z, +) के समरूपी नहीं है, जो कि एकमात्र अनंत चक्रीय समूह है। उदाहरण के लिए, यदि g = e^i एक जनक होता, तो G के सभी अवयव e^in के रूप में होते। लेकिन इकाई वृत्त पर सभी बिंदु इस रूप में नहीं होते हैं जब तक कि एक विशेष प्रकार का न हो, और तब भी यह सभी बिंदुओं को कवर नहीं करेगा। इसलिए, (G, ×) एक चक्रीय समूह नहीं है। Step 5: सही विकल्प का चयन करें। दिए गए विकल्पों में से, (G, ×) एक समूह है। (1) केवल एकांश - गलत, क्योंकि यह एक समूह भी है। (2) समूह - सही। (3) केवल सामि समूह - गलत, क्योंकि यह एक समूह भी है। (4) चक्रीय समूह - गलत, क्योंकि यह चक्रीय नहीं है। (5) अनुत्तरित प्रश्न - गलत। The final answer is (2) समूह. अगला प्रश्न भेजें 📸