यदि समुच्चय G = z ∈ C : |z|=1 में संक्रियाओं का गुणन द्विआधारी संक्रिया के रूप में परिभाषित है, तो (G,X) है –

समुच्चय $G = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं का संग्रह है जिनका मापांक (modulus) 1 है। ये सम्मिश्र संख्याएँ सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त पर स्थित होती हैं।
द्विआधारी संक्रिया सम्मिश्र संख्याओं का गुणन $(\times)$ है।

एक समुच्चय $(G, \times)$ को समूह होने के लिए निम्नलिखित चार गुणों को संतुष्ट करना चाहिए:

• संवृतता (Closure): यदि $z_1, z_2 \in G$, तो क्या $z_1 \times z_2 \in G$? यदि $z_1, z_2 \in G$, तो $|z_1| = 1$ और $|z_2| = 1$। सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के मापांक का गुण है $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$। इसलिए, $|z_1 \times z_2| = 1 \times 1 = 1$। अतः, $z_1 \times z_2 \in G$। संवृतता का गुण संतुष्ट होता है।

• साहचर्यता (Associativity): सम्मिश्र संख्याओं का गुणन साहचर्य होता है। किसी भी $z_1, z_2, z_3 \in G$ के लिए, $(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)$। साहचर्यता का गुण संतुष्ट होता है। (चूंकि संवृतता और साहचर्यता संतुष्ट हैं, $(G, \times)$ एक सामि समूह (semigroup) है।)

• तत्समक अवयव (Identity Element): क्या $G$ में कोई तत्समक अवयव $e$ मौजूद है जैसे कि सभी $z \in G$ के लिए $z \times e = e \times z = z$? सम्मिश्र गुणन के लिए तत्समक अवयव 1 है। हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $1 \in G$ है। $|1| = 1$, इसलिए $1 \in G$। तत्समक अवयव मौजूद है। (चूंकि तत्समक अवयव मौजूद है, $(G, \times)$ एक एकांश (monoid) है।)

• प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): $G$ के प्रत्येक अवयव $z$ के लिए, क्या $G$ में एक प्रतिलोम अवयव $z^{-1}$ मौजूद है जैसे कि $z \times z^{-1} = z^{-1} \times z = 1$? मान लीजिए $z \in G$, तो $|z| = 1$। $z$ का प्रतिलोम $z^{-1} = \frac{1}{z}$ होता है। हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $z^{-1} \in G$ है। $|z^{-1}| = \left|\frac{1}{z}\right| = \frac{|1|}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$। इसलिए, $z^{-1} \in G$। प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम $G$ में मौजूद है।

चूंकि सभी चार समूह गुण (संवृतता, साहचर्यता, तत्समक अवयव, प्रतिलोम अवयव) संतुष्ट होते हैं, इसलिए $(G, \times)$ एक समूह है।

एक समूह चक्रीय होता है यदि उसमें एक जनक (generator) अवयव $g$ हो, जिससे समूह के सभी अवयवों को $g$ की पूर्णांक घातों के रूप में व्यक्त किया जा सके।
समुच्चय $G$ में अनंत अवयव हैं (जैसे $e^{i\theta}$ जहाँ $\theta \in [0, 2\pi)$)। यह समूह $(\mathbb{Z}, +)$ के समरूपी नहीं है, जो कि एकमात्र अनंत चक्रीय समूह है।
उदाहरण के लिए, यदि $g = e^{i\alpha}$ एक जनक होता, तो $G$ के सभी अवयव $e^{in\alpha}$ के रूप में होते। लेकिन इकाई वृत्त पर सभी बिंदु इस रूप में नहीं होते हैं जब तक कि $\alpha$ एक विशेष प्रकार का न हो, और तब भी यह सभी बिंदुओं को कवर नहीं करेगा।
इसलिए, $(G, \times)$ एक चक्रीय समूह नहीं है।

दिए गए विकल्पों में से, $(G, \times)$ एक समूह है।
(1) केवल एकांश - गलत, क्योंकि यह एक समूह भी है।
(2) समूह - सही।
(3) केवल सामि समूह - गलत, क्योंकि यह एक समूह भी है।
(4) चक्रीय समूह - गलत, क्योंकि यह चक्रीय नहीं है।
(5) अनुत्तरित प्रश्न - गलत।

The final answer is $\text{(2) समूह}$.