Given that (x+1) and (x-2) are both factors of the expression ax3+bx-a, find the value of the constants a and b. Hence find, also, the remainder when the expression is divided by (x+2). Express as a simple fraction, simplifying the numerator.

L'équation donnée est $\sin 2\theta = \cos \theta$.
Nous savons que l'identité du double angle pour le sinus est $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
Substituons cette identité dans l'équation :

Déplaçons tous les termes d'un côté de l'équation pour obtenir une équation égale à zéro :

Factorisons $\cos \theta$ :

Pour que le produit de deux termes soit nul, au moins un des termes doit être nul. Nous avons donc deux cas à considérer :
Cas 1: $\cos \theta = 0$
Cas 2: $2 \sin \theta - 1 = 0 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$

Pour le Cas 1 ($\cos \theta = 0$) :
Dans l'intervalle $[0 ; 2\pi]$, les valeurs de $\theta$ pour lesquelles $\cos \theta = 0$ sont $\theta = \frac{\pi}{2}$ et $\theta = \frac{3\pi}{2}$.

Pour le Cas 2 ($\sin \theta = \frac{1}{2}$) :
Dans l'intervalle $[0 ; 2\pi]$, les valeurs de $\theta$ pour lesquelles $\sin \theta = \frac{1}{2}$ sont $\theta = \frac{\pi}{6}$ et $\theta = \frac{5\pi}{6}$.

Les valeurs de $\theta$ qui satisfont l'équation dans l'intervalle $0 \le \theta \le 2\pi$ sont :