यदि सदिश राशियाँ i - j + k, 3i + j + 2k तथा i + λj - 3k एक ही समतल में स्थित हैं, तो 'λ' का मान है

Step 1: सदिशों के घटकों को पहचानें। दिए गए सदिश हैं: $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ जिसके घटक $(1, -1, 1)$ हैं। $\vec{b} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ जिसके घटक $(3, 1, 2)$ हैं। $\vec{c} = \hat{i} + \lambda\hat{j} - 3\hat{k}$ जिसके घटक $(1, \lambda, -3)$ हैं।

Step 2: सह-समतलीयता की शर्त लागू करें। यदि तीन सदिश सह-समतलीय हैं, तो उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है। इसे उनके घटकों से बने सारणिक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & \lambda & -3 \end{vmatrix} = 0$

Step 3: सारणिक का विस्तार करें। सारणिक का विस्तार करने पर: $1((1)(-3) - (2)(\lambda)) - (-1)((3)(-3) - (2)(1)) + 1((3)(\lambda) - (1)(1)) = 0$ $1(-3 - 2\lambda) + 1(-9 - 2) + 1(3\lambda - 1) = 0$ $-3 - 2\lambda - 11 + 3\lambda - 1 = 0$

Step 4: $\lambda$ के लिए समीकरण को हल करें। समीकरण को सरल करने पर: $(-2\lambda + 3\lambda) + (-3 - 11 - 1) = 0$ $\lambda - 15 = 0$ $\lambda = 15$

अतः, $\lambda$ का मान $15$ है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{(b) \lambda = 15}$. 3 done, 2 left today. You're making progress.