Find the inverse of [[6, 4], [5, 3]]

Haya, nitakusaidia kutatua maswali haya ya Hisabati.

Swali la 1:

a) Tafuta kinyume cha $\begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$.

Step 1: Kokotoa kiamuzi (determinant) cha matriksi $A = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$.
Kiamuzi $= (6)(3) - (4)(5) = 18 - 20 = -2$.

Step 2: Tumia fomula ya kinyume cha matriksi $2 \times 2$: $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.

$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -5 & 6 \end{bmatrix}$$ $$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{-2} & \frac{-4}{-2} \\ \frac{-5}{-2} & \frac{6}{-2} \end{bmatrix}$$ $$A^{-1} = \boxed{\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & 2 \\ \frac{5}{2} & -3 \end{bmatrix}}$$

b) Mnamo Januari, muuzaji aliuzwa sufuria 18 na sufuria 12 kwa jumla ya sh 11400. Mnamo Februari aliuzwa sufuria 15 na sufuria 9 kwa jumla ya sh 9,150. Tumia njia ya matriksi kupata bei ya kuuza ya kila bidhaa.

Acha $p$ iwe bei ya sufuria na $s$ iwe bei ya sufuria.
Kutoka mauzo ya Januari: $18p + 12s = 11400$
Kutoka mauzo ya Februari: $15p + 9s = 9150$
Hii inaweza kuandikwa kama equation ya matriksi:

$$\begin{bmatrix} 18 & 12 \\ 15 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11400 \\ 9150 \end{bmatrix}$$

Step 1: Kokotoa kiamuzi cha matriksi ya coefficients $M = \begin{bmatrix} 18 & 12 \\ 15 & 9 \end{bmatrix}$.
Kiamuzi $= (18)(9) - (12)(15) = 162 - 180 = -18$.

Step 2: Tafuta kinyume cha matriksi $M$.

$$M^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{bmatrix} 9 & -12 \\ -15 & 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{5}{6} & -1 \end{bmatrix}$$

Step 3: Zidisha $M^{-1}$ na matriksi ya constants ili kupata $p$ na $s$.

$$\begin{bmatrix} p \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{5}{6} & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11400 \\ 9150 \end{bmatrix}$$ $$p = \left(-\frac{1}{2}\right)(11400) + \left(\frac{2}{3}\right)(9150) = -5700 + 6100 = 400$$ $$s = \left(\frac{5}{6}\right)(11400) + (-1)(9150) = 9500 - 9150 = 350$$

Bei ya kuuza ya sufuria ni sh 400 na bei ya kuuza ya sufuria ni sh 350.

c) Kuanzia Machi hadi Desemba mwaka huo, bei ya kuuza ya kila sufuria iliongezeka kwa 15% na ile ya sufuria ilipungua kwa 6%. Katika kipindi hiki cha mwisho, aliuzwa sufuria mara tano zaidi na sufuria mara sita zaidi kuliko alivyouza Januari na Februari. Tumia njia ya matriksi kuhesabu jumla ya mauzo yake ya sufuria na sufuria kuanzia Machi hadi Desemba.

Step 1: Kokotoa jumla ya sufuria na sufuria zilizouzwa Januari na Februari.
Jumla ya sufuria (Jan & Feb) = $18 + 15 = 33$.
Jumla ya sufuria (Jan & Feb) = $12 + 9 = 21$.

Step 2: Kokotoa idadi ya sufuria na sufuria zilizouzwa Machi hadi Desemba.
Sufuria zilizouzwa (Machi-Desemba) = $5 \times 33 = 165$.
Sufuria zilizouzwa (Machi-Desemba) = $6 \times 21 = 126$.

Step 3: Kokotoa bei mpya za kuuza.
Bei ya awali ya sufuria $p = 400$ sh. Bei mpya $p' = 400 \times (1 + 0.15) = 400 \times 1.15 = 460$ sh.
Bei ya awali ya sufuria $s = 350$ sh. Bei mpya $s' = 350 \times (1 - 0.06) = 350 \times 0.94 = 329$ sh.

Step 4: Tumia kuzidisha kwa matriksi kuhesabu jumla ya mauzo.
Acha matriksi ya wingi iwe $Q = \begin{bmatrix} 165 & 126 \end{bmatrix}$ na matriksi ya bei iwe $P = \begin{bmatrix} 460 \\ 329 \end{bmatrix}$.
Jumla ya Mauzo = $Q \times P$

$$\text{Jumla ya Mauzo} = \begin{bmatrix} 165 & 126 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 460 \\ 329 \end{bmatrix}$$ $$\text{Jumla ya Mauzo} = (165 \times 460) + (126 \times 329)$$ $$\text{Jumla ya Mauzo} = 75900 + 41454$$

Jumla ya mauzo kuanzia Machi hadi Desemba ni sh $\boxed{\text{117,354}}$.

Swali la 2:
Vigezo vitatu p, q na r ni kwamba p inatofautiana moja kwa moja na q na kinyume na mraba wa r.
Hii inamaanisha $p = k \frac{q}{r^2}$ kwa kigezo fulani $k$.

i) Wakati p=9, q=12 na r=2. Tafuta p wakati q=15 na r=5.

Step 1: Tafuta kigezo $k$ kwa kutumia maadili yaliyopewa.
$9 = k \frac{12}{2^2} \implies 9 = k \frac{12}{4} \implies 9 = 3k \implies k = 3$.
Hivyo, uhusiano ni $p = 3 \frac{q}{r^2}$.

Step 2: Tafuta $p$ wakati $q=15$ na $r=5$.

$$p = 3 \frac{15}{5^2} = 3 \frac{15}{25} = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$$

Hivyo, $p = \boxed{\text{1.8}}$.

ii) Eleza q kwa kutumia p na r.

Kutoka $p = 3 \frac{q}{r^2}$, tunapanga upya ili kutenga $q$:

$$pr^2 = 3q$$ $$q = \frac{pr^2}{3}$$

Hivyo, $q = \boxed{\frac{pr^2}{3}}$.

iii) Ikiwa p imeongezeka kwa 20% na r imepungua kwa 10%, tafuta:

a) Usemi rahisi wa mabadiliko katika q kwa kutumia p na r.

b) Asilimia ya mabadiliko katika q.

Acha maadili ya awali yawe $p_1, q_1, r_1$.
$q_1 = \frac{p_1 r_1^2}{3}$.
Maadili mapya: $p_2 = 1.2 p_1$ na $r_2 = 0.9 r_1$.

Step 1: Tafuta thamani mpya ya $q$, $q_2$.

$$q_2 = \frac{p_2 r_2^2}{3} = \frac{(1.2 p_1) (0.9 r_1)^2}{3} = \frac{1.2 p_1 (0.81 r_1^2)}{3} = \frac{0.972 p_1 r_1^2}{3} = 0.324 p_1 r_1^2$$

a) Usemi rahisi wa mabadiliko katika q kwa kutumia p na r.
Mabadiliko katika $q = q_2 - q_1$.

$$\text{Mabadiliko katika } q = 0.324 p_1 r_1^2 - \frac{p_1 r_1^2}{3}$$ $$\text{Mabadiliko katika } q = \left(0.324 - \frac{1}{3}\right) p_1 r_1^2$$ $$\text{Mabadiliko katika } q = \left(\frac{324}{1000} - \frac{1}{3}\right) p_1 r_1^2 = \left(\frac{81}{250} - \frac{1}{3}\right) p_1 r_1^2$$ $$\text{Mabadiliko katika } q = \left(\frac{243 - 250}{750}\right) p_1 r_1^2 = -\frac{7}{750} p_1 r_1^2$$

Usemi rahisi wa mabadiliko katika $q$ ni $\boxed{-\frac{7}{750} pr^2}$.

b) Asilimia ya mabadiliko katika q.
Asilimia ya mabadiliko = $\frac{\text{Mabadiliko katika } q}{q_1} \times 100\%$.
Tunajua $q_2 = 0.972 q_1$.

$$\text{Asilimia ya mabadiliko} = \left(\frac{q_2 - q_1}{q_1}\right) \times 100\% = \left(\frac{0.972 q_1 - q_1}{q_1}\right) \times 100\%$$ $$\text{Asilimia ya mabadiliko} = (0.972 - 1) \times 100\% = -0.028 \times 100\% = -2.8\%$$

Asilimia ya mabadiliko katika $q$ ni kupungua kwa \boxed{\text{2.8%}}.

Swali la 3:

a) Fanya t kuwa mada ya fomula. $s - a = \sqrt{\frac{ab + a^2}{t}}$

Step 1: Piga mraba pande zote mbili.

$$(s - a)^2 = \frac{ab + a^2}{t}$$

Step 2: Zidisha pande zote mbili kwa $t$.

$$t(s - a)^2 = ab + a^2$$

Step 3: Gawanya kwa $(s - a)^2$ ili kutenga $t$.

$$t = \frac{ab + a^2}{(s - a)^2}$$

Unaweza pia kutoa $a$ kutoka kwa nambari:

$$t = \boxed{\frac{a(b + a)}{(s - a)^2}}$$

Swali la 4:

a) Neno la kwanza la mfuatano wa hesabu (AP) ni 2. Jumla ya maneno 8 ya kwanza ya AP ni 256.

i) Tafuta tofauti ya kawaida ya AP.

ii) Kutokana na kwamba jumla ya maneno n ya kwanza ya AP ni 416, tafuta n.

Kwa AP, neno la kwanza $a = 2$. Jumla ya maneno $n$ ni $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$.

i) Tafuta tofauti ya kawaida ya AP.
Tunapewa $S_8 = 256$.

$$256 = \frac{8}{2}(2(2) + (8-1)d)$$ $$256 = 4(4 + 7d)$$ $$64 = 4 + 7d$$ $$60 = 7d$$

Tofauti ya kawaida $d = \boxed{\frac{60}{7}}$.

ii) Kutokana na kwamba jumla ya maneno n ya kwanza ya AP ni 416, tafuta n.
Tunapewa $S_n = 416$, $a = 2$, $d = \frac{60}{7}$.

$$416 = \frac{n}{2}\left(2(2) + (n-1)\frac{60}{7}\right)$$ $$416 = \frac{n}{2}\left(4 + \frac{60n - 60}{7}\right)$$ $$832 = n\left(\frac{28 + 60n - 60}{7}\right)$$ $$832 = n\left(\frac{60n - 32}{7}\right)$$ $$5824 = 60n^2 - 32n$$ $$60n^2 - 32n - 5824 = 0$$

Gawanya kwa 4:

$$15n^2 - 8n - 1456 = 0$$

Tumia fomula ya quadratic $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$$n = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(15)(-1456)}}{2(15)}$$ $$n = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 87360}}{30}$$ $$n = \frac{8 \pm \sqrt{87424}}{30}$$ $$n = \frac{8 \pm 295.675...}{30}$$

Kwa kuwa $n$ lazima iwe nambari kamili (idadi ya maneno), na $\sqrt{87424}$ si nambari kamili, hakuna nambari kamili $n$ inayokidhi masharti haya. Ikiwa tunatumia thamani chanya, $n \approx \frac{8 + 295.675}{30} \approx 10.12$.
Kwa hivyo, hakuna thamani kamili ya $n$ kwa jumla ya 416.

b) Neno la 3, la 5 na la 8 la AP nyingine huunda maneno matatu ya kwanza ya mfuatano wa kijiometri (GP). Ikiwa tofauti ya kawaida ya AP ni 3. Tafuta:

i) Neno la kwanza la GP.

ii) Jumla ya maneno 9 ya kwanza ya GP kwa tarakimu 4 muhimu.

Acha AP iwe na neno la kwanza $a_A$ na tofauti ya kawaida $d_A = 3$.
Maneno ya AP ni:
$A_3 = a_A + (3-1)d_A = a_A + 2(3) = a_A + 6$.
$A_5 = a_A + (5-1)d_A = a_A + 4(3) = a_A + 12$.
$A_8 = a_A + (8-1)d_A = a_A + 7(3) = a_A + 21$.
Maneno haya huunda GP: $G_1 = a_A + 6$, $G_2 = a_A + 12$, $G_3 = a_A + 21$.

Step 1: Tafuta $a_A$ kwa kutumia uwiano wa kawaida wa GP.

$$\frac{G_2}{G_1} = \frac{G_3}{G_2} \implies \frac{a_A + 12}{a_A + 6} = \frac{a_A + 21}{a_A + 12}$$ $$$$