La question demande de prouver l'énoncé : Si $A \subset B$ et $\text{card}(A) = \text{card}(B)$, alors $A=B$. Cette preuve est valide pour les ensembles finis. Étape 1 : Énoncer les conditions données. Nous avons deux ensembles finis $A$ et $B$ tels que : • $A \subset B$ (Cela signifie que chaque élément de $A$ est aussi un élément de $B$). • $\text{card}(A) = \text{card}(B)$ (Cela signifie que $A$ et $B$ ont le même nombre d'éléments). Étape 2 : Définir l'égalité des ensembles. Pour prouver que $A=B$, nous devons montrer que $A \subset B$ et $B \subset A$. Nous avons déjà $A \subset B$ (donné), il nous suffit donc de prouver $B \subset A$. Étape 3 : Prouver $B \subset A$ par contradiction. Supposons, par l'absurde, que $B \not\subset A$. Si $B \not\subset A$, cela signifie qu'il existe au moins un élément $x$ tel que $x \in B$ et $x \notin A$. Puisque $A \subset B$, tous les éléments de $A$ sont déjà inclus dans $B$. Si $B$ contient un élément $x$ qui n'est pas dans $A$, alors $B$ contient tous les éléments de $A$ plus au moins un élément supplémentaire ($x$). Cela implique que le nombre d'éléments dans $B$ doit être strictement supérieur au nombre d'éléments dans $A$. Ainsi, nous aurions $\text{card}(B) > \text{card}(A)$. Étape 4 : Identifier la contradiction. La conclusion de l'Étape 3, $\text{card}(B) > \text{card}(A)$, contredit directement notre condition donnée selon laquelle $\text{card}(A) = \text{card}(B)$. Par conséquent, notre supposition initiale que $B \not\subset A$ doit être fausse. Cela signifie que $B \subset A$ doit être vraie. Étape 5 : Conclure. Puisque nous avons établi à la fois $A \subset B$ (donné) et $B \subset A$ (prouvé), nous pouvons conclure que : $$A=B$$ Ceci complète la démonstration de l'hypothèse auxiliaire. 3 done, 2 left today. You're making progress.