La question demande de prouver l'énoncé : Si A B et card(A) = card(B), alors A=B. Cette preuve est valide pour les ensembles finis.

La question demande de prouver l'énoncé : Si A B et card(A) = card(B), alors A=B. Cette preuve est valide pour les ensembles finis. Étape 1 : Énoncer les conditions données. Nous avons deux ensembles finis A et B tels que : • A B (Cela signifie que chaque élément de A est aussi un élément de B). • card(A) = card(B) (Cela signifie que A et B ont le même nombre d'éléments). Étape 2 : Définir l'égalité des ensembles. Pour prouver que A=B, nous devons montrer que A B et B A. Nous avons déjà A B (donné), il nous suffit donc de prouver B A. Étape 3 : Prouver B A par contradiction. Supposons, par l'absurde, que B A. Si B A, cela signifie qu'il existe au moins un élément x tel que x B et x A. Puisque A B, tous les éléments de A sont déjà inclus dans B. Si B contient un élément x qui n'est pas dans A, alors B contient tous les éléments de A plus au moins un élément supplémentaire (x). Cela implique que le nombre d'éléments dans B doit être strictement supérieur au nombre d'éléments dans A. Ainsi, nous aurions card(B) > card(A). Étape 4 : Identifier la contradiction. La conclusion de l'Étape 3, card(B) > card(A), contredit directement notre condition donnée selon laquelle card(A) = card(B). Par conséquent, notre supposition initiale que B A doit être fausse. Cela signifie que B A doit être vraie. Étape 5 : Conclure. Puisque nous avons établi à la fois A B (donné) et B A (prouvé), nous pouvons conclure que : A=B Ceci complète la démonstration de l'hypothèse auxiliaire. 3 done, 2 left today. You're making progress.