La question demande de prouver l'énoncé : Si A B et card(A) = card(B), alors A=B. Cette preuve est valide pour les ensembles finis.

Nous avons deux ensembles finis $A$ et $B$ tels que :

• $A \subset B$ (Cela signifie que chaque élément de $A$ est aussi un élément de $B$).
• $\text{card}(A) = \text{card}(B)$ (Cela signifie que $A$ et $B$ ont le même nombre d'éléments).

Pour prouver que $A=B$, nous devons montrer que $A \subset B$ et $B \subset A$. Nous avons déjà $A \subset B$ (donné), il nous suffit donc de prouver $B \subset A$.

Supposons, par l'absurde, que $B \not\subset A$.
Si $B \not\subset A$, cela signifie qu'il existe au moins un élément $x$ tel que $x \in B$ et $x \notin A$.
Puisque $A \subset B$, tous les éléments de $A$ sont déjà inclus dans $B$.
Si $B$ contient un élément $x$ qui n'est pas dans $A$, alors $B$ contient tous les éléments de $A$ plus au moins un élément supplémentaire ($x$).
Cela implique que le nombre d'éléments dans $B$ doit être strictement supérieur au nombre d'éléments dans $A$.
Ainsi, nous aurions $\text{card}(B) > \text{card}(A)$.

La conclusion de l'Étape 3, $\text{card}(B) > \text{card}(A)$, contredit directement notre condition donnée selon laquelle $\text{card}(A) = \text{card}(B)$.
Par conséquent, notre supposition initiale que $B \not\subset A$ doit être fausse.
Cela signifie que $B \subset A$ doit être vraie.

Puisque nous avons établi à la fois $A \subset B$ (donné) et $B \subset A$ (prouvé), nous pouvons conclure que :

Ceci complète la démonstration de l'hypothèse auxiliaire.