Read the passage below and fill in each blank space with the most appropriate word.

Par symétrie axiale,

$$\angle AOB = 2 \times \angle AOM = 2 \times 30^\circ = 60^\circ.$$

Formule : $\theta_{\rm rad} = \theta_{\rm deg} \times \dfrac{\pi}{180}$.

$$60^\circ \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{60\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3} \, \rm rad.$$

$\angle AOB = 60^\circ$ ou $\dfrac{\pi}{3} \, \rm rad$.

2. Longueur de l'arc $AM$

Conversion en radians :

$$30^\circ \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6} \, \rm rad.$$

$l = r \theta$ ($\theta$ en radians).

$$l = 7 \, \rm cm \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \, \rm cm.$$

3. Mesure de l'angle $MCD$

$M$ à $30^\circ$, $C$ à $90^\circ$, $D$ à $270^\circ$.

Angle central $\angle MOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Longueur $MC$ (formule des cordes : $2r \sin(\frac{\theta}{2})$) :

$$MC = 2 \times 7 \, \rm cm \times \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 14 \, \rm cm \times \sin 30^\circ = 14 \times 0.5 = 7 \, \rm cm.$$

Longueur $MD$ :

$$MD = 2 \times 7 \, \rm cm \times \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 14 \, \rm cm \times \sin 60^\circ = 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \, \rm cm.$$

$$\cos(\angle MCD) = \frac{MC^2 + CD^2 - MD^2}{2 \cdot MC \cdot CD}.$$

Numérateur :

$$MC^2 = 7^2 = 49 \, \rm cm^2, \quad CD^2 = 14^2 = 196 \, \rm cm^2, \quad MD^2 = (7\sqrt{3})^2 = 147 \, \rm cm^2,$$ $$49 + 196 - 147 = 98 \, \rm cm^2.$$

Dénominateur :

$$2 \times 7 \, \rm cm \times 14 \, \rm cm = 196 \, \rm cm^2.$$ $$\cos(\angle MCD) = \frac{98}{196} = \frac{1}{2}.$$ $$\angle MCD = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ.$$

$\angle MCD = 60^\circ$.