Evaluate the limit: lim x->inf (sqrt(x2+2x+3) - sqrt(x2+3)) / (1 - cos(sin⁻¹(tan(1/x))))

Soit $N(x) = \sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2+3}$.
C'est une forme indéterminée de type $\infty - \infty$. Nous allons multiplier par l'expression conjuguée :

$$N(x) = \frac{\left(\sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2+3}\right)\left(\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2+3}\right)}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2+3}}$$ $$N(x) = \frac{(x^2+2x+3) - (x^2+3)}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2+3}}$$ $$N(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2+3}}$$

Pour évaluer cette limite lorsque $x \to \infty$, nous divisons le numérateur et le dénominateur par $x$ (en notant que $\sqrt{x^2} = x$ pour $x > 0$) :

$$N(x) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x^2+2x+3}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2+3}{x^2}}}$$ $$N(x) = \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}} + \sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}$$

Maintenant, nous pouvons évaluer la limite lorsque $x \to \infty$ :

$$\lim_{x \to \infty} N(x) = \frac{2}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0}} = \frac{2}{1+1} = 1$$

Soit $D(x) = 1 - \cos\left(\sin^{-1}\left(\tan\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)$.
Posons $u = \frac{1}{x}$. Lorsque $x \to \infty$, $u \to 0^+$.
Le dénominateur devient :

$$D(u) = 1 - \cos\left(\sin^{-1}\left(\tan(u)\right)\right)$$

Lorsque $u \to 0^+$ :

• $\tan(u) \to \tan(0) = 0$.
• $\sin^{-1}(\tan(u)) \to \sin^{-1}(0) = 0$.
• $\cos(\sin^{-1}(\tan(u))) \to \cos(0) = 1$. Donc, $\lim_{u \to 0^+} D(u) = 1 - 1 = 0$.

Nous utilisons les équivalents de fonctions pour $u \to 0^+$ :

• $\tan(u) \sim u$
• $\sin^{-1}(v) \sim v$ (pour $v \to 0$) Donc, $\sin^{-1}(\tan(u)) \sim \tan(u) \sim u$. Soit $w = \sin^{-1}(\tan(u))$. Alors $w \sim u$ lorsque $u \to 0^+$.
• $1 - \cos(w) \sim \frac{w^2}{2}$ (pour $w \to 0$) En substituant $w \sim u$, nous obtenons : $D(u) \sim \frac{u^2}{2}$. Puisque $u = \frac{1}{x}$, nous avons $D(x) \sim \frac{(1/x)^2}{2} = \frac{1}{2x^2}$. Lorsque $x \to \infty$, $\frac{1}{2x^2}$ est toujours positif. Donc, le dénominateur approche 0 par des valeurs positives ($0^+$).