Montrer que l equation est une solution unique

La fonction $g(x) = 1 + x + \ln x$ est continue sur $]0 ; +\infty[$ (car la fonction $x \mapsto 1+x$ est continue et la fonction $x \mapsto \ln x$ est continue sur cet intervalle, et la somme de fonctions continues est continue).
De plus, nous avons montré que $g(x)$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
Nous avons également calculé les limites :

$$\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$$

Puisque $g$ est continue et strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$, et que 0 est compris entre $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$, d'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0 ; +\infty[$.

Nous allons chercher des valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x)$ change de signe.
Calculons quelques valeurs de $g(x)$ :
$g(0,2) = 1 + 0,2 + \ln(0,2) \approx 1,2 - 1,609 \approx -0,409$
$g(0,3) = 1 + 0,3 + \ln(0,3) \approx 1,3 - 1,204 \approx 0,096$
Puisque $g(0,2) < 0$ et $g(0,3) > 0$, et que $g$ est continue et strictement croissante, on a $0,2 < \alpha < 0,3$.

Pour un encadrement d'amplitude $10^{-2}$, nous allons affiner la recherche entre 0,2 et 0,3.
$g(0,25) = 1 + 0,25 + \ln(0,25) \approx 1,25 - 1,386 \approx -0,136$
$g(0,26) = 1 + 0,26 + \ln(0,26) \approx 1,26 - 1,347 \approx -0,087$
$g(0,27) = 1 + 0,27 + \ln(0,27) \approx 1,27 - 1,309 \approx -0,039$
$g(0,28) = 1 + 0,28 + \ln(0,28) \approx 1,28 - 1,273 \approx 0,007$
Puisque $g(0,27) < 0$ et $g(0,28) > 0$, on en déduit que $\alpha$ est compris entre 0,27 et 0,28.
L'amplitude de cet encadrement est $0,28 - 0,27 = 0,01 = 10^{-2}$.
Donc, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est :

$$0,27 < \alpha < 0,28$$