On donne a=2 sqrt(3)-3 et b=sqrt(21−12 3). 1. Calculer a2 et b2. 2. Étudier le signe de a. 3. En déduire une écriture de b comportant un seul radical.

Voici la résolution de l'exercice.

1. Calculer $a^2$ et $b^2$.

• Calcul de $a^2$ : On a $a = 2\sqrt{3} - 3$. On utilise l'identité remarquable $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

  $$a^2 = (2\sqrt{3} - 3)^2$$ $$a^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3) + 3^2$$ $$a^2 = (4 \times 3) - (12\sqrt{3}) + 9$$ $$a^2 = 12 - 12\sqrt{3} + 9$$ $$a^2 = 21 - 12\sqrt{3}$$

• Calcul de $b^2$ : On a $b = \sqrt{21 - 12\sqrt{3}}$.

  $$b^2 = \left(\sqrt{21 - 12\sqrt{3}}\right)^2$$ $$b^2 = 21 - 12\sqrt{3}$$

  Les résultats sont : $\boxed{a^2 = 21 - 12\sqrt{3}}$ et $\boxed{b^2 = 21 - 12\sqrt{3}}$.

2. Étudier le signe de $a$.

Pour étudier le signe de $a = 2\sqrt{3} - 3$, nous allons comparer $2\sqrt{3}$ et 3.
On élève au carré les deux termes pour faciliter la comparaison :

$$(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$$ $$3^2 = 9$$

Puisque $12 > 9$, on en déduit que $\sqrt{12} > \sqrt{9}$, c'est-à-dire $2\sqrt{3} > 3$.
Par conséquent, $2\sqrt{3} - 3 > 0$.
Le signe de $a$ est positif.

3. En déduire une écriture de $b$ comportant un seul radical.

D'après la question 1, nous avons trouvé que $a^2 = 21 - 12\sqrt{3}$ et $b^2 = 21 - 12\sqrt{3}$.
On en déduit que $a^2 = b^2$.
Cela signifie que $b = a$ ou $b = -a$.
Par définition, la racine carrée $\sqrt{X}$ est toujours positive ou nulle. Donc $b = \sqrt{21 - 12\sqrt{3}}$ doit être positif.
D'après la question 2, nous avons déterminé que $a = 2\sqrt{3} - 3$ est positif.
Puisque $b$ est positif et $a$ est positif, et que $a^2 = b^2$, on conclut que $b = a$.
Donc, $b = 2\sqrt{3} - 3$.
L'écriture de $b$ avec un seul radical est $\boxed{b = 2\sqrt{3} - 3}$.