Which one is not a polynomial?

यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं: Q1. Which one is not a polynomial? एक बहुपद में चर (variable) की घात (exponent) हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (non-negative integer) होनी चाहिए। a) 4x^2 + 2x - 1: यहाँ घात 2, 1, 0 हैं, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। यह एक बहुपद है। b) y + (3)/(y) = y + 3y^-1: यहाँ y की घात -1 है, जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। इसलिए, यह एक बहुपद नहीं है। c) x^3 - 1: यहाँ घात 3, 0 हैं, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। यह एक बहुपद है। d) y^2 + 5y + 1: यहाँ घात 2, 1, 0 हैं, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। यह एक बहुपद है। सही विकल्प है: b) y + (3)/(y) Q2. Which of the following algebraic expression is a polynomial in variable x? एक बहुपद में चर की घात हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। a) x^2 + (2)/(x^2) = x^2 + 2x^-2: यहाँ x की घात -2 है, जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। b) sqrt(x) + 1 = x^1/2 + 1: यहाँ x की घात (1)/(2) है, जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। c) x^3 + 3x^3/2sqrt(x) = x^3 + 3x^3/2x^1/2 = x^3 + 3x^(3/2 - 1/2) = x^3 + 3x^1: यहाँ x की घात 3 और 1 हैं, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। यह एक बहुपद है। d) x^-2 + x^-1 + 5: यहाँ x की घात -2 और -1 हैं, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं। सही विकल्प है: c) x^3 + 3x^3/2sqrt(x) Q3. The polynomial px^2 + qx + rx^4 + 5 is of type: बहुपद की घात (degree) उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए बहुपद px^2 + qx + rx^4 + 5 को rx^4 + px^2 + qx + 5 के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ चर x की सबसे बड़ी घात 4 है। घात 4 वाले बहुपद को द्विघाती बहुपद (biquadratic polynomial) कहते हैं। सही विकल्प है: d) biquadratic Q4. The polynomial of type p(x) = ax^2 + bx + c, a=0 is: यदि a=0 है, तो बहुपद p(x) = 0 · x^2 + bx + c = bx + c बन जाता है। यह एक ऐसा बहुपद है जिसमें चर x की सबसे बड़ी घात 1 है। घात 1 वाले बहुपद को रैखिक बहुपद (linear polynomial) कहते हैं। सही विकल्प है: a) linear Q5. Classification of the polynomial 3x^4 + 2x is: बहुपद 3x^4 + 2x में दो पद (terms) हैं: 3x^4 और 2x। दो पदों वाले बहुपद को द्विपद (binomial) कहते हैं। सही विकल्प है: b) binomial Q6. The zero of the polynomial p(x) = 2x + 5 is: बहुपद का शून्यक (zero) वह मान होता है जिसके लिए p(x) = 0 होता है। Step 1: p(x) को शून्य के बराबर सेट करें। 2x + 5 = 0 Step 2: x के लिए हल करें। 2x = -5 x = -(5)/(2) सही विकल्प है: d) -(5)/(2) Q7. The zeroes of the polynomial p(x) = 3x^2 - 1 are: बहुपद के शून्यक वह मान होते हैं जिनके लिए p(x) = 0 होता है। Step 1: p(x) को शून्य के बराबर सेट करें। 3x^2 - 1 = 0 Step 2: x के लिए हल करें। 3x^2 = 1 x^2 = (1)/(3) x = ± sqrt((1)/(3)) x = ± (1)/(sqrt(3)) इसलिए, शून्यक (1)/(sqrt(3)) और -(1)/(sqrt(3)) हैं। सही विकल्प है: d) (1)/(sqrt(3)) and -(1)/(sqrt(3)) Q8. If p(y) = 4 + 3y - y^2 + 5y^3, then value of p(-1) is: p(-1) का मान ज्ञात करने के लिए, बहुपद में y = -1 प्रतिस्थापित करें। Step 1: y = -1 को बहुपद में प्रतिस्थापित करें। p(-1) = 4 + 3(-1) - (-1)^2 + 5(-1)^3 Step 2: गणना करें। p(-1) = 4 - 3 - (1) + 5(-1) p(-1) = 4 - 3 - 1 - 5 p(-1) = 1 - 1 - 5 p(-1) = 0 - 5 p(-1) = -5 सही विकल्प है: a) -5 Q9. The number of zeroes in x^2 + 4x + 4 is: यह एक द्विघात बहुपद है। शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इसे गुणनखंडित कर सकते हैं या विविक्तकर (discriminant) का उपयोग कर सकते हैं। Step 1: बहुपद को गुणनखंडित करें। x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 Step 2: शून्यक ज्ञात करने के लिए (x+2)^2 = 0 सेट करें। x+2 = 0 x = -2 यह बहुपद एक ही शून्यक रखता है (एक दोहराया गया मूल)। वैकल्पिक रूप से, विविक्तकर = b^2 - 4ac का उपयोग करके: यहाँ a=1, b=4, c=4 है। = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 चूंकि विविक्तकर 0 है, इसलिए ठीक एक वास्तविक शून्यक है। सही विकल्प है: a) 1 Q10. If p(x) = x + 3, then p(x) + p(-x) is equal to: Step 1: p(x) और p(-x) ज्ञात करें। p(x) = x + 3 p(-x) = (-x) + 3 = -x + 3 Step 2: p(x) + p(-x) की गणना करें। p(x) + p(-x) = (x + 3) + (-x + 3) p(x) + p(-x) = x + 3 - x + 3 p(x) + p(-x) = (x - x) + (3 + 3) p(x) + p(-x) = 0 + 6 p(x) + p(-x) = 6 सही विकल्प है: d) 6 Q11. The degree of polynomial p(x) = x + sqrt(x^2 + 1) is: एक बहुपद की परिभाषा के अनुसार, चर की घात हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ, पद sqrt(x^2 + 1) में चर x पर एक वर्गमूल है, जिसे x^n के रूप में नहीं लिखा जा सकता जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो। इसलिए, p(x) = x + sqrt(x^2 + 1) एक बहुपद नहीं है। यदि यह एक बहुपद नहीं है, तो इसकी कोई "बहुपद की घात" नहीं होती है। हालांकि, यदि प्रश्न यह मानकर पूछा गया है कि हमें उच्चतम घात वाले पद को देखना है (भले ही यह एक बहुपद न हो), तो x की घात 1 है और sqrt(x^2+1) भी x की घात 1 के समान व्यवहार करता है (बड़े x के लिए sqrt(x^2+1) ≈ |x|)। इस अनौपचारिक व्याख्या के तहत, उच्चतम घात 1 होगी। सही विकल्प है: c) 1 Q12. The remainder when x^3 - 2x^2 + 3x + 2 is divided by x-1, is: शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) का उपयोग करके, यदि एक बहुपद p(x) को x-a से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल p(a) होता है। यहाँ, p(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 2 और भाजक x-1 है, इसलिए a=1 है। Step 1: p(1) का मान ज्ञात करें। शेषफल = p(1) p(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 2 Step 2: गणना करें। p(1) = 1 - 2(1) + 3 + 2 p(1) = 1 - 2 + 3 + 2 p(1) = -1 + 3 + 2 p(1) = 2 + 2 p(1) = 4 सही विकल्प है: a) 4 अगला प्रश्न भेजो 📸