This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
Hey miloud, good to see you again. سنقوم بحل الجزء الأول من التمرين. الجزء الأول: لدينا المستقيم (D) معادلته 2x - 3y + 6 = 0. ولدينا المستقيم (D') يمر بالنقطة A(4, 2) ومتجه توجيهه v'(-2, 4). Step 1: إيجاد تمثيل بارامتري للمستقيم (D'). المستقيم (D') يمر بالنقطة A(4, 2) ومتجه توجيهه v'(-2, 4). التمثيل البارامتري لخط مستقيم يمر بنقطة (x_0, y_0) وله متجه توجيه (a, b) هو: x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt بالتعويض بقيم النقطة A(4, 2) ومتجه التوجيه v'(-2, 4): x = 4 - 2t \\ y = 2 + 4t حيث t R. التمثيل البارامتري للمستقيم (D') هو: x = 4 - 2t \\ y = 2 + 4t Step 2: إيجاد معادلة ديكارتية للمستقيم (D'). من التمثيل البارامتري: x = 4 - 2t 2t = 4 - x t = (4 - x)/(2) y = 2 + 4t 4t = y - 2 t = (y - 2)/(4) بمساواة قيم t: (4 - x)/(2) = (y - 2)/(4) نضرب الطرفين في 4 للتخلص من المقامات: 2(4 - x) = y - 2 8 - 2x = y - 2 ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد للحصول على الصورة ax + by + c = 0: 2x + y - 2 - 8 = 0 2x + y - 10 = 0 المعادلة الديكارتية للمستقيم (D') هي: 2x + y - 10 = 0 Step 3: إثبات أن (D) و (D') متقاطعان وتحديد إحداثيات نقطة التقاطع. لدينا معادلة المستقيم (D): 2x - 3y + 6 = 0. ولدينا معادلة المستقيم (D'): 2x + y - 10 = 0. المستقيمان يتقاطعان إذا لم تكن متجهات توجيههما متوازية (أي غير مرتبطة خطياً). متجه توجيه (D) من المعادلة 2x - 3y + 6 = 0 هو u_D(3, 2). متجه توجيه (D') هو v'(-2, 4). للتحقق مما إذا كانا متوازيين، نتحقق مما إذا كان هناك ثابت k بحيث u_D = k v'. 3 = k(-2) k = -(3)/(2) 2 = k(4) k = (2)/(4) = (1)/(2) بما أن قيمة k غير متسقة، فإن المتجهين غير مرتبطين خطياً، وبالتالي المستقيمان (D) و (D') متقاطعان. لإيجاد نقطة التقاطع، نحل نظام المعادلتين: 1) 2x - 3y + 6 = 0 2) 2x + y - 10 = 0 من المعادلة (2)، يمكننا التعبير عن y بدلالة x: y = 10 - 2x نعوض هذه القيمة في المعادلة (1): 2x - 3(10 - 2x) + 6 = 0 2x - 30 + 6x + 6 = 0 8x - 24 = 0 8x = 24 x = (24)/(8) x = 3 الآن نجد قيمة y باستخدام x = 3: y = 10 - 2(3) y = 10 - 6 y = 4 إحداثيات نقطة التقاطع هي (3, 4). نقطة تقاطع المستقيمين (D) و (D') هي: (3, 4) أرسل لي السؤال التالي 📸