Find the parametric representation and Cartesian equation of line D' and prove intersection with line D with coordinates?

المستقيم (D') يمر بالنقطة $A(4, 2)$ ومتجه توجيهه $\vec{v'}(-2, 4)$.
التمثيل البارامتري لخط مستقيم يمر بنقطة $(x_0, y_0)$ وله متجه توجيه $(a, b)$ هو:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$$

بالتعويض بقيم النقطة $A(4, 2)$ ومتجه التوجيه $\vec{v'}(-2, 4)$:

$$\begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = 2 + 4t \end{cases}$$

حيث $t \in \mathbb{R}$.

التمثيل البارامتري للمستقيم (D') هو:

$$\boxed{\begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = 2 + 4t \end{cases}}$$

من التمثيل البارامتري:
$x = 4 - 2t \implies 2t = 4 - x \implies t = \frac{4 - x}{2}$
$y = 2 + 4t \implies 4t = y - 2 \implies t = \frac{y - 2}{4}$

بمساواة قيم $t$:

$$\frac{4 - x}{2} = \frac{y - 2}{4}$$

نضرب الطرفين في 4 للتخلص من المقامات:

$$2(4 - x) = y - 2$$ $$8 - 2x = y - 2$$

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد للحصول على الصورة $ax + by + c = 0$:

$$2x + y - 2 - 8 = 0$$ $$2x + y - 10 = 0$$

المعادلة الديكارتية للمستقيم (D') هي:

$$\boxed{2x + y - 10 = 0}$$

لدينا معادلة المستقيم (D): $2x - 3y + 6 = 0$.
ولدينا معادلة المستقيم (D'): $2x + y - 10 = 0$.

المستقيمان يتقاطعان إذا لم تكن متجهات توجيههما متوازية (أي غير مرتبطة خطياً).
متجه توجيه (D) من المعادلة $2x - 3y + 6 = 0$ هو $\vec{u_D}(3, 2)$.
متجه توجيه (D') هو $\vec{v'}(-2, 4)$.

للتحقق مما إذا كانا متوازيين، نتحقق مما إذا كان هناك ثابت $k$ بحيث $\vec{u_D} = k \vec{v'}$.
$3 = k(-2) \implies k = -\frac{3}{2}$
$2 = k(4) \implies k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
بما أن قيمة $k$ غير متسقة، فإن المتجهين غير مرتبطين خطياً، وبالتالي المستقيمان (D) و (D') متقاطعان.

لإيجاد نقطة التقاطع، نحل نظام المعادلتين:

1. $2x - 3y + 6 = 0$
2. $2x + y - 10 = 0$

من المعادلة (2)، يمكننا التعبير عن $y$ بدلالة $x$:
$y = 10 - 2x$

نعوض هذه القيمة في المعادلة (1):
$2x - 3(10 - 2x) + 6 = 0$
$2x - 30 + 6x + 6 = 0$
$8x - 24 = 0$
$8x = 24$
$x = \frac{24}{8}$
$x = 3$

الآن نجد قيمة $y$ باستخدام $x = 3$:
$y = 10 - 2(3)$
$y = 10 - 6$
$y = 4$

إحداثيات نقطة التقاطع هي $(3, 4)$.

نقطة تقاطع المستقيمين (D) و (D') هي:

$$\boxed{(3, 4)}$$