احسب التكامل المحدد pi extfrom 0 ext to 1 ext of ((2 - x2)2 - (2 - x)2) dx

$$(2 - x^2)^2 = 2^2 - 2(2)(x^2) + (x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4$$ $$(2 - x)^2 = 2^2 - 2(2)(x) + x^2 = 4 - 4x + x^2$$

$$(4 - 4x^2 + x^4) - (4 - 4x + x^2)$$ $$= 4 - 4x^2 + x^4 - 4 + 4x - x^2$$ $$= x^4 - 5x^2 + 4x$$

$$\int (x^4 - 5x^2 + 4x) dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 5\frac{x^{2+1}}{2+1} + 4\frac{x^{1+1}}{1+1}$$ $$= \frac{x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + \frac{4x^2}{2}$$ $$= \frac{x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + 2x^2$$

$$\pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{1}$$

نحسب قيمة الدالة الأصلية عند الحد العلوي ($x=1$) ونطرح منها قيمتها عند الحد السفلي ($x=0$).

$$\pi \left[ \left( \frac{1^5}{5} - \frac{5(1)^3}{3} + 2(1)^2 \right) - \left( \frac{0^5}{5} - \frac{5(0)^3}{3} + 2(0)^2 \right) \right]$$ $$\pi \left[ \left( \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 2 \right) - (0) \right]$$

لجمع الكسور، نجد المقام المشترك وهو 15.

$$\frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 2 = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 15}{1 \cdot 15}$$ $$= \frac{3}{15} - \frac{25}{15} + \frac{30}{15}$$ $$= \frac{3 - 25 + 30}{15} = \frac{-22 + 30}{15} = \frac{8}{15}$$

$$\pi \left( \frac{8}{15} \right) = \frac{8\pi}{15}$$

النتيجة النهائية هي:

$$\frac{8\pi}{15}$$