स्केलेन त्रिभुजको क्षेत्रफल पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् र ४२ मी, ३४ मी, र २० मी भुजाहरू भएको जग्गाको क्षेत्रफल मी² र धुरमा पत्ता लगाउनुहोस्।

समस्या १: त्रिभुजाकार जग्गाको टुक्रा

a) स्केलेन त्रिभुज (Scalene triangle) भनेको के हो? स्केलेन त्रिभुज एउटा यस्तो त्रिभुज हो जसका तीनवटै भुजाहरूको लम्बाइ फरक-फरक हुन्छ। यसका तीनवटै कोणहरू पनि फरक-फरक हुन्छन्।

b) स्केलेन त्रिभुजको क्षेत्रफल पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस्। यदि त्रिभुजका भुजाहरू $a$, $b$, र $c$ छन् भने, अर्ध-परिमिति (semi-perimeter) $s$ निम्न अनुसार हुन्छ: $s = \frac{a+b+c}{2}$ क्षेत्रफल ($A$) को लागि हेरोनको सूत्र (Heron's formula) निम्न छ: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

c) जग्गाको क्षेत्रफल पत्ता लगाउनुहोस्। दिइएका भुजाहरू: $a = 42\, \text{m}$, $b = 34\, \text{m}$, $c = 20\, \text{m}$

Step 1: अर्ध-परिमिति ($s$) पत्ता लगाउनुहोस्। $s = \frac{42 + 34 + 20}{2}$ $s = \frac{96}{2}$ $s = 48\, \text{m}$

Step 2: हेरोनको सूत्र प्रयोग गरी क्षेत्रफल पत्ता लगाउनुहोस्। $A = \sqrt{48(48-42)(48-34)(48-20)}$ $A = \sqrt{48(6)(14)(28)}$ $A = \sqrt{48 \times 6 \times 14 \times 28}$ $A = \sqrt{112896}$ $A = 336\, m^2$ जग्गाको क्षेत्रफल: $\boxed{336 m^2}$

d) जग्गाको क्षेत्रफल धुरमा पत्ता लगाउनुहोस्। दिइएको छ: $2\, Dhur = 26.93\, m^2$ यसबाट $1\, Dhur = \frac{26.93}{2}\, m^2 = 13.465\, m^2$

Step 1: क्षेत्रफललाई धुरमा रूपान्तरण गर्नुहोस्। $\text{क्षेत्रफल (धुरमा)} = \frac{क्षेत्रफल (m^2)}{1 धुरको मान (m^2)}$ $\text{क्षेत्रफल (धुरमा)} = \frac{336}{13.465}$ $\text{क्षेत्रफल (धुरमा)} \approx 24.9535$ जग्गाको क्षेत्रफल धुरमा: $\boxed{24.95 धुर}$

समस्या २: प्रिज्म

प्रिज्मको लम्बाइ ($L$) = $22\, \text{cm}$ समकोणीय त्रिभुजाकार आधारका भुजाहरू: $3\, \text{cm}$, $4\, \text{cm}$, $5\, \text{cm}$। समकोणीय त्रिभुजमा, $3\, \text{cm}$ र $4\, \text{cm}$ लम्ब र आधार हुन्, र $5\, \text{cm}$ कर्ण (hypotenuse) हो।

a) क्रस-सेक्शनल क्षेत्रफल (Area of cross-sectional) पत्ता लगाउनुहोस्। क्रस-सेक्शनल क्षेत्रफल भनेको त्रिभुजाकार आधारको क्षेत्रफल हो। Step 1: त्रिभुजको क्षेत्रफल पत्ता लगाउनुहोस्। $\text{आधारको क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times आधार \times \text{उचाइ}$ $\text{आधारको क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 4\, cm \times 3\, \text{cm}$ $\text{आधारको क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 12\, cm^2$ $\text{आधारको क्षेत्रफल} = 6\, cm^2$ क्रस-सेक्शनल क्षेत्रफल: $\boxed{6 cm^2}$

b) कुल सतह क्षेत्रफल (Total surface area) पत्ता लगाउनुहोस्। प्रिज्मको कुल सतह क्षेत्रफल = $2 \times (आधारको क्षेत्रफल) + (आधारको परिमिति) \times (प्रिज्मको लम्बाइ)$

Step 1: आधारको परिमिति पत्ता लगाउनुहोस्। $\text{आधारको परिमिति} = 3\, cm + 4\, cm + 5\, \text{cm}$ $\text{आधारको परिमिति} = 12\, \text{cm}$

Step 2: कुल सतह क्षेत्रफल पत्ता लगाउनुहोस्। $\text{कुल सतह क्षेत्रफल} = 2 \times 6\, cm^2 + 12\, cm \times 22\, \text{cm}$ $\text{कुल सतह क्षेत्रफल} = 12\, cm^2 + 264\, cm^2$ $\text{कुल सतह क्षेत्रफल} = 276\, cm^2$ कुल सतह क्षेत्रफल: $\boxed{276 cm^2}$

c) आयतन (Volume) पत्ता लगाउनुहोस्। प्रिज्मको आयतन = $(आधारको क्षेत्रफल) \times (प्रिज्मको लम्बाइ)$

Step 1: आयतन पत्ता लगाउनुहोस्। $\text{आयतन} = 6\, cm^2 \times 22\, \text{cm}$ $\text{आयतन} = 132\, cm^3$ आयतन: $\boxed{132 cm^3}$

d) आयताकार सतहको क्षेत्रफल (Area of rectangular face) पत्ता लगाउनुहोस्। प्रिज्ममा तीनवटा आयताकार सतहहरू हुन्छन्, प्रत्येकको लम्बाइ प्रिज्मको लम्बाइ ($22\, \text{cm}$) हुन्छ र चौडाइ त्रिभुजाकार आधारको एक भुजा हुन्छ।

Step 1: पहिलो आयताकार सतहको क्षेत्रफल पत्ता लगाउनुहोस् (आधारको भुजा $3\, \text{cm}$)। $\text{क्षेत्रफल}_1 = 3\, cm \times 22\, cm = 66\, cm^2$

Step 2: दोस्रो आयताकार सतहको क्षेत्रफल पत्ता लगाउनुहोस् (आधारको भुजा $4\, \text{cm}$)। $\text{क्षेत्रफल}_2 = 4\, cm \times 22\, cm = 88\, cm^2$

Step 3: तेस्रो आयताकार सतहको क्षेत्रफल पत्ता लगाउनुहोस् (आधारको भुजा $5\, \text{cm}$)। $\text{क्षेत्रफल}_3 = 5\, cm \times 22\, cm = 110\, cm^2$ आयताकार सतहहरूको क्षेत्रफलहरू: $\boxed{66 cm^2, 88 cm^2, 110 cm^2}$