Quel doit être la valeur nominale d'un effet échéant le 31 Mai pour qu'il soit équivalent le 31 Mars à un…

Question

Quel doit être la valeur nominale d'un effet échéant le 31 Mai pour qu'il soit équivalent le 31 Mars à un effet de 260 000 F payable le 30 Avril? Taux: 15%.

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Voici la résolution des exercices demandés.

EXERCICE N°1

Pour que deux effets soient équivalents à une date donnée, leurs valeurs actuelles à cette date doivent être égales. La formule de la valeur actuelle est $V_a = V_n \left(1 - t \times \frac{n}{360}\right)$ , où $V_n$ est la valeur nominale, $t$ le taux d'escompte et $n$ le nombre de jours à courir.

Calculer le nombre de jours à courir pour chaque effet jusqu'à la date d'équivalence (31 Mars).
- Pour l'effet de $260\,000$ F payable le 30 Avril : Du 31 Mars au 30 Avril, il y a 30 jours (Avril). Donc $n_1 = 30$ jours.
- Pour le nouvel effet échéant le 31 Mai : Du 31 Mars au 31 Mai, il y a 30 jours (Avril) + 31 jours (Mai) = 61 jours. Donc $n_2 = 61$ jours. Le taux d'escompte est $t = 15\% = 0,15$ .
Calculer la valeur actuelle du premier effet au 31 Mars.
$V_{a1} = 260\,000 \left(1 - 0,15 \times \frac{30}{360}\right)$ $V_{a1} = 260\,000 \left(1 - 0,15 \times \frac{1}{12}\right)$ $V_{a1} = 260\,000 \left(1 - 0,0125\right)$ $V_{a1} = 260\,000 \times 0,9875$ $V_{a1} = 256\,750 \text{ F}$
Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du second effet ( $V_{n2}$ ).
La valeur actuelle du second effet au 31 Mars doit être égale à $V_{a1}$ .
$V_{a2} = V_{n2} \left(1 - 0,15 \times \frac{61}{360}\right)$
En égalisant $V_{a1}$ et $V_{a2}$ :
$256\,750 = V_{n2} \left(1 - \frac{0,15 \times 61}{360}\right)$ $256\,750 = V_{n2} \left(1 - \frac{9,15}{360}\right)$ $256\,750 = V_{n2} \left(\frac{360 - 9,15}{360}\right)$ $256\,750 = V_{n2} \left(\frac{350,85}{360}\right)$
Résoudre pour $V_{n2}$ .
$V_{n2} = \frac{256\,750 \times 360}{350,85}$ $V_{n2} \approx 263\,448,98 \text{ F}$
La valeur nominale du second effet doit être :
$\boxed{263\,448,98 \text{ F}}$

EXERCICE N°2

Nous utilisons le principe d'équivalence des valeurs actuelles à la date d'équivalence.
Identifier les données et calculer le nombre de jours à courir pour chaque effet jusqu'à la date d'équivalence (30 Juin).
- Pour la lettre de change originale de $288\,000$ F payable le 30 Juin : La date d'échéance est la même que la date d'équivalence. Donc $n_1 = 0$ jour.
- Pour la nouvelle lettre de change payable le 31 Août : Du 30 Juin au 31 Août, il y a 31 jours (Juillet) + 31 jours (Août) = 62 jours. Donc $n_2 = 62$ jours. Le taux d'escompte est $t = 12\% = 0,12$ .
Calculer la valeur actuelle de la lettre de change originale au 30 Juin.
Puisque $n_1 = 0$ , il n'y a pas d'escompte.
$V_{a1} = V_{n1} = 288\,000 \text{ F}$
Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet ( $V_{n2}$ ).
La valeur actuelle du nouvel effet au 30 Juin doit être égale à $V_{a1}$ .
$V_{a2} = V_{n2} \left(1 - t \times \frac{n_2}{360}\right)$ $288\,000 = V_{n2} \left(1 - 0,12 \times \frac{62}{360}\right)$ $288\,000 = V_{n2} \left(1 - \frac{7,44}{360}\right)$ $288\,000 = V_{n2} \left(\frac{360 - 7,44}{360}\right)$ $288\,000 = V_{n2} \left(\frac{352,56}{360}\right)$
Résoudre pour $V_{n2}$ .
$V_{n2} = \frac{288\,000 \times 360}{352,56}$ $V_{n2} \approx 294\,083,84 \text{ F}$
La valeur nominale du nouvel effet doit être :
$\boxed{294\,083,84 \text{ F}}$

EXERCICE N°3

Nous utilisons le principe d'équivalence des valeurs actuelles à la date de remplacement (aujourd'hui).
Identifier les données et le nombre de jours à courir pour chaque effet.
- Pour l'effet original de $720\,000$ F payable dans 15 jours : $V_{n1} = 720\,000$ F, $n_1 = 15$ jours.
- Pour le nouvel effet payable dans 90 jours : $n_2 = 90$ jours, $V_{n2}$ est inconnue. Le taux d'escompte est $t = 14\% = 0,14$ .
Calculer la valeur actuelle de l'effet original à la date de remplacement.
$V_{a1} = V_{n1} \left(1 - t \times \frac{n_1}{360}\right)$ $V_{a1} = 720\,000 \left(1 - 0,14 \times \frac{15}{360}\right)$ $V_{a1} = 720\,000 \left(1 - 0,14 \times \frac{1}{24}\right)$ $V_{a1} = 720\,000 \left(1 - \frac{0,14}{24}\right)$ $V_{a1} = 720\,000 \left(1 - 0,0058333...\right)$ $V_{a1} = 720\,000 \times \frac{23,86}{24}$ $V_{a1} = 30\,000 \times 23,86$ $V_{a1} = 715\,800 \text{ F}$
Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet ( $V_{n2}$ ).
La valeur actuelle du nouvel effet à la date de remplacement doit être égale à $V_{a1}$ .
$V_{a2} = V_{n2} \left(1 - t \times \frac{n_2}{360}\right)$ $715\,800 = V_{n2} \left(1 - 0,14 \times \frac{90}{360}\right)$ $715\,800 = V_{n2} \left(1 - 0,14 \times \frac{1}{4}\right)$ $715\,800 = V_{n2} \left(1 - 0,035\right)$ $715\,800 = V_{n2} \times 0,965$
Résoudre pour $V_{n2}$ .
$V_{n2} = \frac{715\,800}{0,965}$ $V_{n2} \approx 741\,761,66 \text{ F}$
La valeur nominale du nouvel effet doit être :
$\boxed{741\,761,66 \text{ F}}$
3 de faites, encore 2 aujourd'hui. Tu progresses.

Quel doit être la valeur nominale d'un effet échéant le 31 Mai pour qu'il soit équivalent le 31 Mars à un effet de 260 000 F payable le 30 Avril? Taux: 15%.

Step-by-step solution

Calculer le nombre de jours à courir pour chaque effet jusqu'à la date d'équivalence (31 Mars).

Calculer la valeur actuelle du premier effet au 31 Mars.

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du second effet ( $V_{n2}$ ).

Résoudre pour $V_{n2}$ .

Identifier les données et calculer le nombre de jours à courir pour chaque effet jusqu'à la date d'équivalence (30 Juin).

Calculer la valeur actuelle de la lettre de change originale au 30 Juin.

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet ( $V_{n2}$ ).

Résoudre pour $V_{n2}$ .

Identifier les données et le nombre de jours à courir pour chaque effet.

Calculer la valeur actuelle de l'effet original à la date de remplacement.

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet ( $V_{n2}$ ).

Résoudre pour $V_{n2}$ .

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Step-by-step solution

Calculer le nombre de jours à courir pour chaque effet jusqu'à la date d'équivalence (31 Mars).

Calculer la valeur actuelle du premier effet au 31 Mars.

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du second effet (Vn2V_{n2}Vn2​).

Résoudre pour Vn2V_{n2}Vn2​.

Identifier les données et calculer le nombre de jours à courir pour chaque effet jusqu'à la date d'équivalence (30 Juin).

Calculer la valeur actuelle de la lettre de change originale au 30 Juin.

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet (Vn2V_{n2}Vn2​).

Résoudre pour Vn2V_{n2}Vn2​.

Identifier les données et le nombre de jours à courir pour chaque effet.

Calculer la valeur actuelle de l'effet original à la date de remplacement.

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet (Vn2V_{n2}Vn2​).

Résoudre pour Vn2V_{n2}Vn2​.

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Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du second effet ( $V_{n2}$ ).

Résoudre pour $V_{n2}$ .

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet ( $V_{n2}$ ).

Résoudre pour $V_{n2}$ .

Établir l'équation d'équivalence pour trouver la valeur nominale du nouvel effet ( $V_{n2}$ ).

Résoudre pour $V_{n2}$ .