This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Pour trouver la primitive de la fonction f(x), nous allons d'abord réécrire la fonction, puis intégrer chaque terme. La fonction donnée est : f(x) = 2-sqrt(x)sqrt(x) Step 1: Réécrire la fonction f(x). Nous pouvons séparer la fraction en deux termes : f(x) = (2)/(sqrt(x)) - sqrt(x)sqrt(x) f(x) = (2)/(sqrt(x)) - 1 Nous savons que sqrt(x) = x^(1)/(2), donc (1)/(sqrt(x)) = x^-(1)/(2). f(x) = 2x^-(1)/(2) - 1 Step 2: Intégrer la fonction f(x). Pour trouver la primitive F(x), nous intégrons f(x) : F(x) = f(x)\,dx = (2x^-(1)/(2) - 1)\,dx Nous pouvons séparer l'intégrale en deux parties : F(x) = 2x^-(1)/(2)\,dx - 1\,dx Step 3: Calculer la première intégrale. Pour 2x^-(1)/(2)\,dx, nous utilisons la règle d'intégration ax^n\,dx = ax^n+1n+1 + C (pour n ≠ -1). Ici, a=2 et n=-(1)/(2). 2x^-(1)/(2)\,dx = 2 · (x^-1)/(2)+1-(1)/(2)+1 + C_1 2x^-(1)/(2)\,dx = 2 · (x^1)/(2)(1)/(2) + C_1 2x^-(1)/(2)\,dx = 2 · 2x^(1)/(2) + C_1 2x^-(1)/(2)\,dx = 4x^(1)/(2) + C_1 Puisque x^(1)/(2) = sqrt(x), nous avons : 2x^-(1)/(2)\,dx = 4sqrt(x) + C_1 Step 4: Calculer la deuxième intégrale. Pour 1\,dx, la primitive est x. 1\,dx = x + C_2 Step 5: Combiner les résultats. Maintenant, nous combinons les primitives des deux parties : F(x) = (4sqrt(x) + C_1) - (x + C_2) F(x) = 4sqrt(x) - x + (C_1 - C_2) Nous pouvons remplacer la constante (C_1 - C_2) par une seule constante C. F(x) = 4sqrt(x) - x + C La primitive de la fonction f(x) est : F(x) = 4sqrt(x) - x + C 3 done, 2 left today. You're making progress.