Quelle est la primitive de la fonction f(x) = rac2−sqrt(x)sqrt(x) ?

Nous pouvons séparer la fraction en deux termes :

$$f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$ $$f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$$

Nous savons que $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, donc $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$.

$$f(x) = 2x^{-\frac{1}{2}} - 1$$

Pour trouver la primitive $F(x)$, nous intégrons $f(x)$ :

$$F(x) = \int f(x)\,dx = \int \left(2x^{-\frac{1}{2}} - 1\right)\,dx$$

Nous pouvons séparer l'intégrale en deux parties :

$$F(x) = \int 2x^{-\frac{1}{2}}\,dx - \int 1\,dx$$

Pour $\int 2x^{-\frac{1}{2}}\,dx$, nous utilisons la règle d'intégration $\int ax^n\,dx = a\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (pour $n \neq -1$).
Ici, $a=2$ et $n=-\frac{1}{2}$.

$$\int 2x^{-\frac{1}{2}}\,dx = 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1$$ $$\int 2x^{-\frac{1}{2}}\,dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1$$ $$\int 2x^{-\frac{1}{2}}\,dx = 2 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C_1$$ $$\int 2x^{-\frac{1}{2}}\,dx = 4x^{\frac{1}{2}} + C_1$$

Puisque $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$, nous avons :

$$\int 2x^{-\frac{1}{2}}\,dx = 4\sqrt{x} + C_1$$

Pour $\int 1\,dx$, la primitive est $x$.

$$\int 1\,dx = x + C_2$$

Maintenant, nous combinons les primitives des deux parties :

$$F(x) = (4\sqrt{x} + C_1) - (x + C_2)$$ $$F(x) = 4\sqrt{x} - x + (C_1 - C_2)$$

Nous pouvons remplacer la constante $(C_1 - C_2)$ par une seule constante $C$.

$$F(x) = 4\sqrt{x} - x + C$$

La primitive de la fonction $f(x)$ est :