Résoudre le système d'équations suivant: {3x+2y=7 {2x−3y=1

On retrouve bien l'expression de $f(x)$.

b) En déduire $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Donc,

c) Interpréter graphiquement ce résultat.

Le résultat $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$ signifie que la courbe $(C)$ admet une asymptote horizontale d'équation $\boxed{y=4}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

2) a) Prouver que, pour tout $x \ge 0$, $f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée première de $f$.

Soit $u(x) = 4e^x$ et $v(x) = e^x+1$.
Alors $u'(x) = 4e^x$ et $v'(x) = e^x$.

b) Après avoir étudié le sens de variation de $f$, dresser son tableau de variation.

Pour tout $x \ge 0$, $e^x > 0$, donc $4e^x > 0$.
De plus, $(e^x+1)^2 > 0$.
Par conséquent, $f'(x) > 0$ pour tout $x \ge 0$.

Puisque $f'(x) > 0$ sur $[0; +\infty[$, la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

3) a) Calculer à $10^{-2}$ près : $f(0)$; $f(1)$; $f(2)$.

b) Écrire l'équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $x_0 = 0$.

Ici, $x_0 = 0$.
On a $f(0) = 2$.

4) Tracer $(T)$ et $(C)$ avec son asymptote dans un même repère.

Pour tracer la courbe $(C)$ et la tangente $(T)$ :

• Tracez un repère orthonormé.
• Tracez l'asymptote horizontale d'équation $y=4$.
• Tracez la tangente $(T)$ d'équation $y=x+2$. Elle passe par les points $(0, 2)$ et $(-2, 0)$.
• Placez les points calculés : $(0, 2)$, $(1, 2.92)$, $(2, 3.52)$.
• Dessinez la courbe $(C)$ en respectant sa croissance et en la faisant se rapprocher de l'asymptote $y=4$ lorsque $x$ augmente. La courbe doit être tangente à la droite $(T)$ au point $(0, 2)$.

5) Soit $F$ la fonction définie sur $[0; +\infty[$ par $F(x) = 4 \ln(e^x+1)$.

a) On rappelle que $(\ln(U))' = \frac{U'}{U}$. Démontrer que $F$ est une primitive de $f$.

Soit $U(x) = e^x+1$. Alors $U'(x) = e^x$.
En utilisant la formule $(\ln(U))' = \frac{U'}{U}$ :

On constate que $F'(x) = f(x)$.
Donc, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[0; +\infty[$.

b) En déduire, en $cm^2$ et à $10^{-2}$ près, l'aire $A$ du domaine plan délimité par : la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
On donne : $e \approx 2.7$; $e^2 \approx 7.38$; $\ln(e^2+1) \approx 2.12$; $\ln 2 \approx 0.7$.

Puisque $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$ est toujours positive sur $[0; +\infty[$ (car $e^x > 0$), l'aire $A$ est donnée par :

L'unité graphique est 1 cm, donc l'aire est en $cm^2$.