Résoudre le système d'équations suivant: {3x+2y=7 {2x-3y=1

PROBLÈME (10 pts) Soit f la fonction numérique définie sur [0; +[ par : f(x) = (4e^x)/(e^x+1) On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm. 1) a) Vérifier que, pour tout x 0, f(x) = 4(1 - (1)/(e^x+1)). Step 1: Partir de l'expression proposée et la simplifier. 4(1 - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x+1)/(e^x+1) - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x+1-1)/(e^x+1)) = 4((e^x)/(e^x+1)) = (4e^x)/(e^x+1) On retrouve bien l'expression de f(x). f(x) = (4e^x)/(e^x+1) b) En déduire _x + f(x). Step 1: Calculer la limite de e^x lorsque x +. _x + e^x = + Step 2: Calculer la limite de (1)/(e^x+1) lorsque x +. _x + (e^x+1) = + Donc, _x + (1)/(e^x+1) = 0 Step 3: En déduire la limite de f(x). f(x) = 4(1 - (1)/(e^x+1)) _x + f(x) = 4(1 - 0) = 4 _x + f(x) = 4 c) Interpréter graphiquement ce résultat. Le résultat _x + f(x) = 4 signifie que la courbe (C) admet une asymptote horizontale d'équation y=4 lorsque x tend vers +. 2) a) Prouver que, pour tout x 0, f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) où f' désigne la fonction dérivée première de f. Step 1: Utiliser la formule de dérivation d'un quotient ((u)/(v))' = (u'v - uv')/(v^2). Soit u(x) = 4e^x et v(x) = e^x+1. Alors u'(x) = 4e^x et v'(x) = e^x. Step 2: Appliquer la formule. f'(x) = ((4e^x)(e^x+1) - (4e^x)(e^x))/((e^x+1)^2) f'(x) = 4e^2x + 4e^x - 4e^2x(e^x+1)^2 f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) b) Après avoir étudié le sens de variation de f, dresser son tableau de variation. Step 1: Étudier le signe de f'(x). Pour tout x 0, e^x > 0, donc 4e^x > 0. De plus, (e^x+1)^2 > 0. Par conséquent, f'(x) > 0 pour tout x 0. Step 2: Déduire le sens de variation de f. Puisque f'(x) > 0 sur [0; +[, la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle. Step 3: Calculer f(0). f(0) = (4e^0)/(e^0+1) = (4 × 1)/(1+1) = (4)/(2) = 2 Step 4: Dresser le tableau de variation. | x | 0 | + | | :--- | :--- | :--- | | f'(x) | + | | | f(x) | 2 | 4 | 3) a) Calculer à 10^-2 près : f(0); f(1); f(2). Step 1: Calculer f(0). f(0) = (4e^0)/(e^0+1) = (4 × 1)/(1+1) = (4)/(2) = 2 f(0) = 2.00 Step 2: Calculer f(1) en utilisant e ≈ 2.7. f(1) = (4e^1)/(e^1+1) = (4 × 2.7)/(2.7+1) = (10.8)/(3.7) ≈ 2.9189 f(1) ≈ 2.92 Step 3: Calculer f(2) en utilisant e^2 ≈ 7.38. f(2) = (4e^2)/(e^2+1) = (4 × 7.38)/(7.38+1) = (29.52)/(8.38) ≈ 3.5226 f(2) ≈ 3.52 b) Écrire l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse x_0 = 0. Step 1: Utiliser la formule de l'équation de la tangente y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0). Ici, x_0 = 0. On a f(0) = 2. Step 2: Calculer f'(0). f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) f'(0) = (4e^0)/((e^0+1)^2) = (4 × 1)/((1+1)^2) = (4)/(2^2) = (4)/(4) = 1 Step 3: Écrire l'équation de la tangente (T). y = 1(x-0) + 2 y = x + 2 (T): y = x+2 4) Tracer (T) et (C) avec son asymptote dans un même repère. Pour tracer la courbe (C) et la tangente (T) : • Tracez un repère orthonormé. • Tracez l'asymptote horizontale d'équation y=4. • Tracez la tangente (T) d'équation y=x+2. Elle passe par les points (0, 2) et (-2, 0). • Placez les points calculés : (0, 2), (1, 2.92), (2, 3.52). • Dessinez la courbe (C) en respectant sa croissance et en la faisant se rapprocher de l'asymptote y=4 lorsque x augmente. La courbe doit être tangente à la droite (T) au point (0, 2). 5) Soit F la fonction définie sur [0; +[ par F(x) = 4 (e^x+1). a) On rappelle que ((U))' = (U')/(U). Démontrer que F est une primitive de f. Step 1: Dériver la fonction F(x). Soit U(x) = e^x+1. Alors U'(x) = e^x. En utilisant la formule ((U))' = (U')/(U) : F'(x) = 4 · (e^x)/(e^x+1) F'(x) = (4e^x)/(e^x+1) Step 2: Comparer F'(x) avec f(x). On constate que F'(x) = f(x). Donc, F est bien une primitive de f sur [0; +[. F'(x) = f(x) b) En déduire, en cm^2 et à 10^-2 près, l'aire A du domaine plan délimité par : la courbe (C), l'axe des abscisses, les droites d'équations x=0 et x=2. On donne : e ≈ 2.7; e^2 ≈ 7.38; (e^2+1) ≈ 2.12; 2 ≈ 0.7. Step 1: Écrire l'intégrale représentant l'aire A. Puisque f(x) = (4e^x)/(e^x+1) est toujours positive sur [0; +[ (car e^x > 0), l'aire A est donnée par : A = _0^2 f(x)\,dx Step 2: Utiliser la primitive F(x) pour calculer l'intégrale. A = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) A = 4 (e^2+1) - 4 (e^0+1) A = 4 (e^2+1) - 4 (1+1) A = 4 (e^2+1) - 4 (2) Step 3: Substituer les valeurs approchées données. A ≈ 4 × 2.12 - 4 × 0.7 A ≈ 8.48 - 2.8 A ≈ 5.68 Step 4: Indiquer l'unité de l'aire. L'unité graphique est 1 cm, donc l'aire est en cm^2. A ≈ 5.68 cm^2 Got more? Send 'em.