Résoudre les équations différentielles suivantes : (E1): y' - 4y = 5 et (E2): y'' + y' - 2y = 0

$$a = -4$$ $$b = 5$$

$$y(x) = C e^{-(-4)x} - \frac{5}{-4}$$ $$y(x) = C e^{4x} + \frac{5}{4}$$

La solution générale de $(E_1)$ est :

$$\boxed{\mathbf{y(x) = C e^{4x} + \frac{5}{4}}}$$

2) a- Donner une solution générale de l'équation différentielle : $(E_2): y'' + y' - 2y = 0$

C'est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.
L'équation caractéristique associée est $r^2 + r - 2 = 0$.

Nous pouvons factoriser l'équation quadratique :

$$(r+2)(r-1) = 0$$

Les racines sont :

$$r_1 = 1$$ $$r_2 = -2$$

Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est de la forme $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.

$$y(x) = C_1 e^{1x} + C_2 e^{-2x}$$ $$y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}$$

La solution générale de $(E_2)$ est :

$$\boxed{\mathbf{y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}}}$$

2) b- Déterminer la solution particulière de l'équation $(E_2)$ qui vérifie la condition : $\begin{cases} y(0) = 1 \\ y'(0) = 1 \end{cases}$

Nous utilisons la solution générale $y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}$.

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x})$$ $$y'(x) = C_1 e^{x} - 2C_2 e^{-2x}$$

Pour $y(0) = 1$:

$$y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{-2(0)} = 1$$ $$C_1(1) + C_2(1) = 1$$ $$(1) \quad C_1 + C_2 = 1$$

Pour $y'(0) = 1$:

$$y'(0) = C_1 e^{0} - 2C_2 e^{-2(0)} = 1$$ $$C_1(1) - 2C_2(1) = 1$$ $$(2) \quad C_1 - 2C_2 = 1$$

Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) :

$$(C_1 + C_2) - (C_1 - 2C_2) = 1 - 1$$ $$C_1 + C_2 - C_1 + 2C_2 = 0$$ $$3C_2 = 0$$ $$C_2 = 0$$

Substituer $C_2 = 0$ dans l'équation (1) :

$$C_1 + 0 = 1$$ $$C_1 = 1$$

$$y(x) = (1) e^{x} + (0) e^{-2x}$$ $$y(x) = e^{x}$$

La solution particulière de $(E_2)$ est :

$$\boxed{\mathbf{y(x) = e^{x}}}$$