This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la solution de l'Exercice 01. Exercice 01 1) Résoudre l'équation différentielle : (E_1): y' - 4y = 5 C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme y' + ay = b. Ici, a = -4 et b = 5. La solution générale est donnée par y(x) = C e^-ax - (b)/(a), où C est une constante arbitraire. Step 1: Identifier les coefficients a et b. a = -4 b = 5 Step 2: Substituer a et b dans la formule de la solution générale. y(x) = C e^-(-4)x - (5)/(-4) y(x) = C e^4x + (5)/(4) La solution générale de (E_1) est : y(x) = C e^4x + (5)/(4) 2) a- Donner une solution générale de l'équation différentielle : (E_2): y'' + y' - 2y = 0 C'est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique associée est r^2 + r - 2 = 0. Step 1: Trouver les racines de l'équation caractéristique. Nous pouvons factoriser l'équation quadratique : (r+2)(r-1) = 0 Les racines sont : r_1 = 1 r_2 = -2 Step 2: Écrire la solution générale basée sur les racines réelles distinctes. Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est de la forme y(x) = C_1 e^r_1 x + C_2 e^r_2 x. y(x) = C_1 e^1x + C_2 e^-2x y(x) = C_1 e^x + C_2 e^-2x La solution générale de (E_2) est : y(x) = C_1 e^x + C_2 e^-2x 2) b- Déterminer la solution particulière de l'équation (E_2) qui vérifie la condition : y(0) = 1 \\ y'(0) = 1 Nous utilisons la solution générale y(x) = C_1 e^x + C_2 e^-2x. Step 1: Calculer la première dérivée y'(x). y'(x) = (d)/(dx)(C_1 e^x + C_2 e^-2x) y'(x) = C_1 e^x - 2C_2 e^-2x Step 2: Appliquer les conditions initiales. Pour y(0) = 1: y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^-2(0) = 1 C_1(1) + C_2(1) = 1 (1) C_1 + C_2 = 1 Pour y'(0) = 1: y'(0) = C_1 e^0 - 2C_2 e^-2(0) = 1 C_1(1) - 2C_2(1) = 1 (2) C_1 - 2C_2 = 1 Step 3: Résoudre le système d'équations linéaires pour C_1 et C_2. Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) : (C_1 + C_2) - (C_1 - 2C_2) = 1 - 1 C_1 + C_2 - C_1 + 2C_2 = 0 3C_2 = 0 C_2 = 0 Substituer C_2 = 0 dans l'équation (1) : C_1 + 0 = 1 C_1 = 1 Step 4: Substituer les valeurs de C_1 et C_2 dans la solution générale. y(x) = (1) e^x + (0) e^-2x y(x) = e^x La solution particulière de (E_2) est : y(x) = e^x That's 2 down. 3 left today — send the next one.