Résoudre l'inéquation : (6x2+x-2)/(2x+3) >= (3x2-x-2)/(x+3)

Voici la résolution de l'inéquation (I).

1. Déterminer l'ensemble de validité V de (I).
L'inéquation est donnée par :

$$\frac{6x^2+x-2}{2x+3} \ge \frac{3x^2-x-2}{x+3}$$

Pour que l'inéquation soit définie, les dénominateurs ne doivent pas être nuls.
$2x+3 \ne 0 \implies 2x \ne -3 \implies x \ne -\frac{3}{2}$
$x+3 \ne 0 \implies x \ne -3$
L'ensemble de validité $V$ est donc $\mathbb{R} \setminus \left\{ -3, -\frac{3}{2} \right\}$.
En notation par intervalles : $V = (-\infty, -3) \cup \left(-3, -\frac{3}{2}\right) \cup \left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)$.

2. Justifier que (I) $\Leftrightarrow x \in V, \frac{4x(3x+2)}{(2x+3)(x+3)} \ge 0$.
Partons de l'inéquation (I) et ramenons tous les termes du même côté :

$$\frac{6x^2+x-2}{2x+3} - \frac{3x^2-x-2}{x+3} \ge 0$$

Mettons les fractions sur un dénominateur commun, qui est $(2x+3)(x+3)$ :

$$\frac{(6x^2+x-2)(x+3) - (3x^2-x-2)(2x+3)}{(2x+3)(x+3)} \ge 0$$

Développons le numérateur :
$(6x^2+x-2)(x+3) = 6x^3 + 18x^2 + x^2 + 3x - 2x - 6 = 6x^3 + 19x^2 + x - 6$
$(3x^2-x-2)(2x+3) = 6x^3 + 9x^2 - 2x^2 - 3x - 4x - 6 = 6x^3 + 7x^2 - 7x - 6$
Maintenant, soustrayons les deux expressions développées :
Numérateur $= (6x^3 + 19x^2 + x - 6) - (6x^3 + 7x^2 - 7x - 6)$
Numérateur $= 6x^3 + 19x^2 + x - 6 - 6x^3 - 7x^2 + 7x + 6$
Numérateur $= (6x^3 - 6x^3) + (19x^2 - 7x^2) + (x + 7x) + (-6 + 6)$
Numérateur $= 12x^2 + 8x$
Factorisons le numérateur :
Numérateur $= 4x(3x+2)$
En substituant cela dans l'inéquation, nous obtenons :

$$\frac{4x(3x+2)}{(2x+3)(x+3)} \ge 0$$

Cette forme est équivalente à l'inéquation (I) pour $x \in V$.

3. Résous (I).
Nous devons résoudre l'inéquation $\frac{4x(3x+2)}{(2x+3)(x+3)} \ge 0$ pour $x \in V$.
Les valeurs critiques sont celles qui annulent le numérateur ou le dénominateur :

• $4x = 0 \implies x = 0$
• $3x+2 = 0 \