This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la résolution de l'inéquation (I). 1. Déterminer l'ensemble de validité V de (I). L'inéquation est donnée par : (6x^2+x-2)/(2x+3) (3x^2-x-2)/(x+3) Pour que l'inéquation soit définie, les dénominateurs ne doivent pas être nuls. 2x+3 0 2x -3 x -(3)/(2) x+3 0 x -3 L'ensemble de validité V est donc R \ -3, -(3)/(2) \. En notation par intervalles : V = (-, -3) (-3, -(3)/(2)) (-(3)/(2), +). 2. Justifier que (I) x V, (4x(3x+2))/((2x+3)(x+3)) 0. Partons de l'inéquation (I) et ramenons tous les termes du même côté : (6x^2+x-2)/(2x+3) - (3x^2-x-2)/(x+3) 0 Mettons les fractions sur un dénominateur commun, qui est (2x+3)(x+3) : ((6x^2+x-2)(x+3) - (3x^2-x-2)(2x+3))/((2x+3)(x+3)) 0 Développons le numérateur : (6x^2+x-2)(x+3) = 6x^3 + 18x^2 + x^2 + 3x - 2x - 6 = 6x^3 + 19x^2 + x - 6 (3x^2-x-2)(2x+3) = 6x^3 + 9x^2 - 2x^2 - 3x - 4x - 6 = 6x^3 + 7x^2 - 7x - 6 Maintenant, soustrayons les deux expressions développées : Numérateur = (6x^3 + 19x^2 + x - 6) - (6x^3 + 7x^2 - 7x - 6) Numérateur = 6x^3 + 19x^2 + x - 6 - 6x^3 - 7x^2 + 7x + 6 Numérateur = (6x^3 - 6x^3) + (19x^2 - 7x^2) + (x + 7x) + (-6 + 6) Numérateur = 12x^2 + 8x Factorisons le numérateur : Numérateur = 4x(3x+2) En substituant cela dans l'inéquation, nous obtenons : (4x(3x+2))/((2x+3)(x+3)) 0 Cette forme est équivalente à l'inéquation (I) pour x V. 3. Résous (I). Nous devons résoudre l'inéquation (4x(3x+2))/((2x+3)(x+3)) 0 pour x V. Les valeurs critiques sont celles qui annulent le numérateur ou le dénominateur : • 4x = 0 x = 0 • $3x+2 = 0 \