त्रिकोणमितीय समीकरण secθ−1 = (√2−1)tanθ, जहाँ (n∈N), का व्यापक हल है -

दिया गया समीकरण है:

$$\sec\theta - 1 = (\sqrt{2} - 1)\tan\theta$$

हम जानते हैं कि $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ और $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

$$\frac{1}{\cos\theta} - 1 = (\sqrt{2} - 1)\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\frac{1 - \cos\theta}{\cos\theta} = (\sqrt{2} - 1)\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

यहाँ, $\cos\theta \neq 0$ होना चाहिए।

दोनों पक्षों को $\cos\theta$ से गुणा करने पर (चूंकि $\cos\theta \neq 0$):

$$1 - \cos\theta = (\sqrt{2} - 1)\sin\theta$$

हम जानते हैं कि $1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ और $\sin\theta = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$। इन मानों को समीकरण में रखने पर:

$$2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = (\sqrt{2} - 1) \cdot 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

$$2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - 2(\sqrt{2} - 1)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0$$ $$2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - (\sqrt{2} - 1)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \right] = 0$$

स्थिति 1: $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0$
यदि $\sin x = 0$, तो $x = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
इसलिए, $\frac{\theta}{2} = n\pi$

$$\theta = 2n\pi$$

स्थिति 2: $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - (\sqrt{2} - 1)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0$

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = (\sqrt{2} - 1)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

यदि $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0$, तो $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm 1$, जिससे $\pm 1 = 0$ होगा, जो असत्य है। इसलिए, $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \neq 0$।
दोनों पक्षों को $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ से भाग देने पर:

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{2} - 1$$

हम जानते हैं कि $\tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1$।
इसलिए, $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{8}\right)$
यदि $\tan x = \tan \alpha$, तो $x = m\pi + \alpha$ जहाँ $m \in \mathbb{Z}$।
इसलिए, $\frac{\theta}{2} = m\pi + \frac{\pi}{8}$

$$\theta = 2m\pi + \frac{\pi}{4}$$

समीकरण के व्यापक हल हैं $\theta = 2n\pi$ और $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$।
अब विकल्पों की जाँच करें:
(1) $\theta = n\pi, 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ - यह गलत है क्योंकि $n\pi$ में $\theta = \pi, 3\pi, \dots$ जैसे विषम गुणज शामिल हैं, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं। साथ ही, $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{4}$ भी समीकरण का हल नहीं है।
(2) $\theta = 2n\pi, 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ - इस विकल्प में $\theta = 2n\pi$ (सही) और $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$ (सही) शामिल हैं। हालाँकि, इसमें $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{4}$ भी शामिल है, जो समीकरण का हल नहीं है।
(3) $\theta = 2n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ - यह गलत है क्योंकि $n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ हल का सही रूप नहीं है। उदाहरण के लिए, $n=1$ के लिए $\theta = \pi \pm \frac{\pi}{4}$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
(4) $\theta = n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ - यह गलत है क्योंकि $n\pi$ में विषम गुणज शामिल हैं और $n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ भी गलत है।

दिए गए विकल्पों में से, विकल्प (2) सबसे उपयुक्त है क्योंकि इसमें सभी सही हल शामिल हैं, भले ही इसमें एक अतिरिक्त (गलत) हल भी शामिल हो। बहुविकल्पीय प्रश्नों में यह एक सामान्य स्थिति है।

अतः, सही विकल्प है:

$$\text{(2) } \theta = 2n\pi, 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$$