Find the set of values of k for which the roots of the quadratic equation x2−kx+2x−2=0 are real and different.

Nous avons l'équation $2^x = 3^y$.
Prenons le logarithme (par exemple, le logarithme népérien $\ln$) des deux côtés :

$$\ln(2^x) = \ln(3^y)$$

En utilisant la propriété des logarithmes $\ln(a^b) = b \ln a$, nous obtenons :

$$x \ln 2 = y \ln 3$$

De là, nous pouvons exprimer $y$ en fonction de $x$ :

$$y = x \frac{\ln 2}{\ln 3}$$

La deuxième équation est $x+y=1$.
Substituons l'expression de $y$ trouvée à l'étape 1 :

$$x + x \frac{\ln 2}{\ln 3} = 1$$

Factorisons $x$ :

$$x \left(1 + \frac{\ln 2}{\ln 3}\right) = 1$$

Mettons les termes entre parenthèses sur un dénominateur commun :

$$x \left(\frac{\ln 3}{\ln 3} + \frac{\ln 2}{\ln 3}\right) = 1$$ $$x \left(\frac{\ln 3 + \ln 2}{\ln 3}\right) = 1$$

En utilisant la propriété des logarithmes $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ :

$$x \left(\frac{\ln (3 \times 2)}{\ln 3}\right) = 1$$ $$x \left(\frac{\ln 6}{\ln 3}\right) = 1$$

Pour isoler $x$, multiplions les deux côtés par $\frac{\ln 3}{\ln 6}$ :

$$x = \frac{\ln 3}{\ln 6}$$

La formule de changement de base des logarithmes stipule que $\frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\log a}{\log b}$ (où $\log$ peut être le logarithme décimal ou tout autre base).
Donc, nous avons montré que :

$$x = \frac{\log 3}{\log 6}$$