Simplify the following expression: (x+2)/(1+x+x2) - (x-2)/(1-x+x2) - (2x2)/(1+x2+x4)

पहिलो दुई भिन्नको हरहरू $1+x+x^2$ र $1-x+x^2$ छन्।
यी दुई हरहरूको गुणनफल $(1+x+x^2)(1-x+x^2)$ हो।
यो $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ को रूपमा छ, जहाँ $A = (1+x^2)$ र $B = x$ हो।

$$(1+x+x^2)(1-x+x^2) = ((1+x^2)+x)((1+x^2)-x)$$ $$= (1+x^2)^2 - x^2$$ $$= (1 + 2x^2 + x^4) - x^2$$ $$= 1 + x^2 + x^4$$

त्यसैले, पहिलो दुई भिन्नको साझा हर $1+x^2+x^4$ हो।

$$(x+2)(1-x+x^2) - (x-2)(1+x+x^2)$$

पहिलो गुणनफल:

$$(x+2)(1-x+x^2) = x(1-x+x^2) + 2(1-x+x^2)$$ $$= x - x^2 + x^3 + 2 - 2x + 2x^2$$ $$= x^3 + x^2 - x + 2$$

दोस्रो गुणनफल:

$$(x-2)(1+x+x^2) = x(1+x+x^2) - 2(1+x+x^2)$$ $$= x + x^2 + x^3 - 2 - 2x - 2x^2$$ $$= x^3 - x^2 - x - 2$$

अब यी दुई परिणामहरू घटाउनुहोस्:

$$(x^3 + x^2 - x + 2) - (x^3 - x^2 - x - 2)$$ $$= x^3 + x^2 - x + 2 - x^3 + x^2 + x + 2$$ $$= (x^3 - x^3) + (x^2 + x^2) + (-x + x) + (2 + 2)$$ $$= 0 + 2x^2 + 0 + 4$$ $$= 2x^2 + 4$$

त्यसैले, पहिलो दुई भिन्नको योगफल:

$$\frac{2x^2+4}{1+x^2+x^4}$$

$$\frac{2x^2+4}{1+x^2+x^4} - \frac{2x^2}{1+x^2+x^4}$$

हरहरू समान भएकाले, अंशहरूलाई सीधा घटाउन सकिन्छ:

$$\frac{(2x^2+4) - 2x^2}{1+x^2+x^4}$$ $$\frac{2x^2+4 - 2x^2}{1+x^2+x^4}$$ $$\frac{4}{1+x^2+x^4}$$