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Simplify the following expressions: (a) 3a2 - 2a + 5a2 - a + 7 (b) (2x + 3)(x - 4) (c) (2x2 - 8) / (x - 2)

Mathematics

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QUESTION 1

a) Simplifier l'expression : 3a2−2a+5a2−a+73a^2 - 2a + 5a^2 - a + 7

  1. Regrouper les termes similaires.

    (3a2+5a2)+(−2a−a)+7(3a^2 + 5a^2) + (-2a - a) + 7

  2. Effectuer les additions et soustractions.

    8a2−3a+78a^2 - 3a + 7

    La forme simplifiée est :

    \boxed{\text{8a^2 - 3a + 7}}

    b) Développer l'expression : (2x+3)(x−4)(2x + 3)(x - 4)

  3. Utiliser la propriété de distributivité (FOIL).

    (2x)(x)+(2x)(−4)+(3)(x)+(3)(−4)(2x)(x) + (2x)(-4) + (3)(x) + (3)(-4)

  4. Multiplier les termes.

    2x2−8x+3x−122x^2 - 8x + 3x - 12

  5. Regrouper les termes similaires.

    2x2−5x−122x^2 - 5x - 12

    La forme développée est :

    \boxed{\text{2x^2 - 5x - 12}}

    c) Simplifier l'expression : 2x2−8x−2\frac{2x^2 - 8}{x - 2}

  6. Factoriser le numérateur en sortant le facteur commun 2.

    2(x2−4)x−2\frac{2(x^2 - 4)}{x - 2}

  7. Reconnaître l'identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) dans le numérateur.

    2(x−2)(x+2)x−2\frac{2(x - 2)(x + 2)}{x - 2}

  8. Simplifier en annulant le terme (x−2)(x - 2), en supposant x≠2x \neq 2.

    2(x+2)2(x + 2)

    La forme simplifiée est :

    2(x + 2) ou 2x + 4\boxed{\text{2(x + 2) ou 2x + 4}}

    QUESTION 2

    a) Résoudre l'équation : x2+5x−6=0x^2 + 5x - 6 = 0

  9. Factoriser le trinôme.

    Nous cherchons deux nombres dont le produit est -6 et la somme est 5. Ces nombres sont 6 et -1.

    (x+6)(x−1)=0(x + 6)(x - 1) = 0

  10. Égaliser chaque facteur à zéro pour trouver les solutions.

    x+6=0oux−1=0x + 6 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 1 = 0

  11. Résoudre pour xx.

    x=−6oux=1x = -6 \quad \text{ou} \quad x = 1

    Les solutions sont :

    x = -6, x = 1\boxed{\text{x = -6, x = 1}}

    b) Résoudre l'équation : 2x−1x+3=32\frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{3}{2}

  12. Identifier la condition d'existence

    le dénominateur ne peut pas être nul, donc x+3≠0  ⟹  x≠−3x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3.

  13. Effectuer un produit en croix.

    2(2x−1)=3(x+3)2(2x - 1) = 3(x + 3)

  14. Développer les deux côtés de l'équation.

    4x−2=3x+94x - 2 = 3x + 9

  15. Regrouper les termes en xx d'un côté et les constantes de l'autre.

    4x−3x=9+24x - 3x = 9 + 2

  16. Résoudre pour xx.

    x=11x = 11

    La solution est :

    x = 11\boxed{\text{x = 11}}

    c) Résoudre l'équation : 2x+1=162^{x+1} = 16

  17. Exprimer 16 comme une puissance de 2.

    16=2416 = 2^4

  18. Remplacer 16 dans l'équation.

    2x+1=242^{x+1} = 2^4

  19. Puisque les bases sont égales, les exposants doivent être égaux.

    x+1=4x + 1 = 4

  20. Résoudre pour xx.

    x=4−1x = 4 - 1 x=3x = 3

    La solution est :

    x = 3\boxed{\text{x = 3}}
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