Soit f la fonction numérique définie sur [0;+∞[ par : f(x) = 4e^x / (e^x+1). On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 1cm. 1) a) Vérifier que, pour tout x ≥ 0, f(x)=4(1−(1/(e^x+1))). b) En déduire lim f(x). c) Interpréter graphiquement ce résultat.

On développe l'expression $4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right)$ :

$$4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right) = 4\left(\frac{e^x+1}{e^x+1} - \frac{1}{e^x+1}\right)$$ $$4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right) = 4\left(\frac{e^x+1-1}{e^x+1}\right)$$ $$4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right) = 4\left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)$$ $$4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right) = \frac{4e^x}{e^x+1}$$

On retrouve bien l'expression de $f(x)$.
L'égalité est $\boxed{\text{vérifiée}}$.

b) En déduire $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

On utilise la forme $f(x) = 4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right)$.
Lorsque $x \to +\infty$, $e^x \to +\infty$.
Donc, $e^x+1 \to +\infty$.
Par conséquent, $\frac{1}{e^x+1} \to 0$.
Alors, $1 - \frac{1}{e^x+1} \to 1 - 0 = 1$.
Finalement, $f(x) \to 4 \times 1 = 4$.

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$$

La limite est $\boxed{4}$.

c) Interpréter graphiquement ce résultat.

Puisque $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$, la courbe $(C)$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=4$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

2. a) Prouver que, pour tout $x \ge 0$, $f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée première de $f$.

La fonction $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = 4e^x$ et $v(x) = e^x+1$.
Les dérivées sont $u'(x) = 4e^x$ et $v'(x) = e^x$.
La formule de dérivation d'un quotient est $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$$f'(x) = \frac{(4e^x)(e^x+1) - (4e^x)(e^x)}{(e^x+1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4e^{2x} + 4e^x - 4e^{2x}}{(e^x+1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2}$$

L'expression de $f'(x)$ est $\boxed{\text{prouvée}}$.

b) Après avoir étudié le sens de variation de $f$, dresser son tableau de variation.

Pour tout $x \ge 0$ :

• $e^x > 0$, donc $4e^x > 0$.
• $e^x+1 > 0$, donc $(e^x+1)^2 > 0$. Par conséquent, $f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2} > 0$ pour tout $x \ge 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

On a $f(0) = \frac{4e^0}{e^0+1} = \frac{4}{1+1} = 2$.
Et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$ (calculé en 1b).

$x$	0	$+\infty$
$f'(x)$		$+$
$f(x)$	2	$\nearrow$ 4

3. a) Calculer à $10^{-3}$ près : $f(0)$; $f(1)$; $f(2)$.

On utilise les approximations données pour $e$ et $e^2$ si nécessaire, ou des valeurs plus précises pour une meilleure exactitude. Pour $10^{-3}$ près, il est préférable d'utiliser des valeurs plus précises pour $e$ si non spécifié, mais ici les valeurs sont données pour la partie 5b, donc nous les utiliserons pour la cohérence.
$e \approx 2,71828$
$e^2 \approx 7,38906$

• Pour $f(0)$ :

$$f(0) = \frac{4e^0}{e^0+1} = \frac{4 \times 1}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$$ $$f(0) = \boxed{2,000}$$

• Pour $f(1)$ :

$$f(1) = \frac{4e}{e+1}$$

En utilisant $e \approx 2,718$:

$$f(1) \approx \frac{4 \times 2,718}{2,718+1} = \frac{10,872}{3,718} \approx 2,92404...$$ $$f(1) \approx \boxed{2,924}$$

• Pour $f(2)$ :

$$f(2) = \frac{4e^2}{e^2+1}$$

En utilisant $e^2 \approx 7,389$:

$$f(2) \approx \frac{4 \times 7,389}{7,389+1} = \frac{29,556}{8,389} \approx 3,52318...$$ $$f(2) \approx \boxed{3,523}$$

b) Écrire l'équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $x_0 = 0$.

L'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $x_0$ est donnée par la formule : $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$.
Ici, $x_0 = 0$.
On a déjà calculé $f(0) = 2$.
Calculons $f'(0)$ :

$$f'(0) = \frac{4e^0}{(e^0+1)^2} = \frac{4 \times 1}{(1+1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$$

Maintenant, on substitue ces valeurs dans la formule de la tangente :

$$y = 1(x-0) + 2$$ $$y = x + 2$$

L'équation de la tangente $(T)$ est $\boxed{y = x+2}$.

4. Tracer $(T)$ et $(C)$, avec son asymptote, dans un même repère.

• L'asymptote horizontale est la droite d'équation $y=4$.
• La tangente $(T)$ est la droite d'équation $y=x+2$. Elle passe par les points $(0;2)$ et $(-2;0)$.
• La courbe $(C)$ passe par le point $(0;2)$.
• La fonction est croissante.
• Quelques points pour le tracé de $(C)$ : $(0;2)$, $(1;2,924)$, $(2;3,523)$.
• La courbe $(C)$ part du point $(0;2)$ et monte progressivement vers l'asymptote $y=4$.

5. Soit $F$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $F(x) = 4\ln(e^x+1)$.

a) On rappelle que $(\ln U)' = \frac{U'}{U}$. Démontrer que $F$ est une primitive de $f$.

On dérive $F(x) = 4\ln(e^x+1)$.
On pose $U(x) = e^x+1$. Alors $U'(x) = e^x$.
En utilisant la formule $(\ln U)' = \frac{U'}{U}$ :

$$F'(x) = 4 \cdot \frac{e^x}{e^x+1}$$ $$F'(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$$

On reconnaît l'expression de $f(x)$.
Donc, $F'(x) = f(x)$, ce qui démontre que $F$ est une primitive de $f$.

b) En déduire, en cm$^2$ et à $10^{-3}$ près, l'aire $A$ du domaine plan délimité par : la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
On donne : $e \approx 2,7$; $e^2 \approx 7,38$; $\ln(e^2+1) \approx 2,12$; $\ln 2 \approx 0,7$.

L'aire $A$ est donnée par l'intégrale de $f(x)$ entre 0 et 2.
Puisque $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$ est toujours positive sur $[0;+\infty[$, l'aire est :

$$A = \int_0^2 f(x)\,dx$$

Puisque $F$ est une primitive de $f$, on a :

$$A = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0)$$

Calculons $F(2)$ et $F(0)$ :

$$F(2) = 4\ln(e^2+1)$$ $$F(0) = 4\ln(e^0+1) = 4\ln(1+1) = 4\ln 2$$

Donc,

$$A = 4\ln(e^2+1) - 4\ln 2$$

Utilisons les valeurs approchées données : $\ln(e^2+1) \approx 2,12$ et $\ln 2 \approx 0,7$.

$$A \approx 4 \times 2,12 - 4 \times 0,7$$ $$A \approx 8,48 - 2,8$$ $$A \approx 5,68$$

L'unité graphique étant 1 cm, l'aire est en cm$^2$.

$$A \approx \boxed{5,680 \text{ cm}^2}$$

POUR A₁ SEULEMENT 6) Soit $G$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$. On note par $(\Gamma)$ sa courbe représentative.

a) Démontrer que, pour tout réel $x$, $G(-x) + G(x) = 4$. Que signifie ce résultat pour la courbe $(\Gamma)$ ?

On a $G(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$.
Calculons $G(-x)$ :

$$G(-x) = \frac{4e^{-x}}{e^{-x}+1}$$

Pour simplifier $G(-x)$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x$ :

$$G(-x) = \frac{4e^{-x} \cdot e^x}{(e^{-x}+1) \cdot e^x} = \frac{4e^0}{e^0+e^x} = \frac{4}{1+e^x}$$

Maintenant, calculons $G(-x) + G(x)$ :

$$G(-x) + G(x) = \frac{4}{1+e^x} + \frac{4e^x}{e^x+1}$$ $$G(-x) + G(x) = \frac{4+4e^x}{e^x+1}$$ $$G(-x) + G(x) = \frac{4(1+e^x)}{e^x+1}$$ $$G(-x) + G(x) = 4$$

L'égalité est $\boxed{\text{démontrée}}$.

Le résultat $G(-x) + G(x) = 4$ signifie que la courbe $(\Gamma)$ est symétrique par rapport au point $(0; 2)$. En effet, si $M(x; y)$ est un point de la courbe, alors $M'(-x; 4-y)$ est aussi un point de la courbe. Le milieu du segment $MM'$ est $\left(\frac{x+(-x)}{2}; \frac{y+(4-y)}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}; \frac{4}{2}\right) = (0; 2)$.

b) Tracer, à partir de la courbe $(C)$, la courbe $(\Gamma)$ dans le même repère.

• Pour $x \ge 0$, la fonction $G(x)$ est identique à $f(x)$, donc la courbe $(\Gamma)$ coïncide avec $(C)$.
• La courbe $(\Gamma)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Pour $x < 0$, on utilise la symétrie par rapport au point $(0; 2)$.
• L'asymptote horizontale pour $x \to +\infty$ est $y=4$.
• Calculons la limite de $G(x)$ lorsque $x \to -\infty$ :

$$\lim_{x \to -\infty} G(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{4e^x}{e^x+1}$$

Lorsque $x \to -\infty$, $e^x \to 0$. Donc, $\lim_{x \to -\infty} G(x) = \frac{4 \times 0}{0+1} = 0$. La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale pour $x \to -\infty$.

• La courbe $(\Gamma)$ passe par le point de symétrie $(0;2)$.
• Pour tracer $(\Gamma)$, on trace d'abord $(C)$ pour $x \ge 0$. Ensuite, on construit la partie de $(\Gamma)$ pour $x < 0$ en effectuant une symétrie centrale de la partie $x > 0$ de $(C)$ par rapport au point $(0;2)$.