Soit f la fonction numérique définie sur [0;+∞[ par : f(x) = 4e^x / (e^x+1). On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 1cm. 1) a) Vérifier que, pour tout x ≥ 0, f(x)=4(1−(1/(e^x+1))). b) En déduire lim f(x). c) Interpréter graphiquement ce résultat.

Question

Asked on July 20, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-07-20T21:56:18.165Z

Voici la résolution détaillée du problème de mathématiques. PROBLÈME (10 pts) Soit f la fonction numérique définie sur [0;+[ par : f(x) = (4e^x)/(e^x+1) On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm. 1) a) Vérifier que, pour tout x 0, f(x) = 4(1 - (1)/(e^x+1)). Step 1: Partir de l'expression proposée et la simplifier. On développe l'expression 4(1 - (1)/(e^x+1)) : 4(1 - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x+1)/(e^x+1) - (1)/(e^x+1)) 4(1 - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x+1-1)/(e^x+1)) 4(1 - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x)/(e^x+1)) 4(1 - (1)/(e^x+1)) = (4e^x)/(e^x+1) On retrouve bien l'expression de f(x). L'égalité est vérifiée. b) En déduire _x + f(x). Step 2: Calculer la limite en utilisant la forme vérifiée. On utilise la forme f(x) = 4(1 - (1)/(e^x+1)). Lorsque x +, e^x +. Donc, e^x+1 +. Par conséquent, (1)/(e^x+1) 0. Alors, 1 - (1)/(e^x+1) 1 - 0 = 1. Finalement, f(x) 4 × 1 = 4. _x + f(x) = 4 La limite est 4. c) Interpréter graphiquement ce résultat. Step 3: Interpréter la limite en termes d'asymptote. Puisque _x + f(x) = 4, la courbe (C) admet une asymptote horizontale d'équation y=4 lorsque x tend vers +. 2) a) Prouver que, pour tout x 0, f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) où f' désigne la fonction dérivée première de f. Step 4: Calculer la dérivée de f(x). La fonction f(x) = (4e^x)/(e^x+1) est de la forme (u)/(v) avec u(x) = 4e^x et v(x) = e^x+1. Les dérivées sont u'(x) = 4e^x et v'(x) = e^x. La formule de dérivation d'un quotient est ((u)/(v))' = (u'v - uv')/(v^2). f'(x) = ((4e^x)(e^x+1) - (4e^x)(e^x))/((e^x+1)^2) f'(x) = 4e^2x + 4e^x - 4e^2x(e^x+1)^2 f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) L'expression de f'(x) est prouvée. b) Après avoir étudié le sens de variation de f, dresser son tableau de variation. Step 5: Étudier le signe de f'(x) et en déduire le sens de variation. Pour tout x 0 : • e^x > 0, donc 4e^x > 0. • e^x+1 > 0, donc (e^x+1)^2 > 0. Par conséquent, f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) > 0 pour tout x 0. La fonction f est donc strictement croissante sur [0;+[. Step 6: Dresser le tableau de variation. On a f(0) = (4e^0)/(e^0+1) = (4)/(1+1) = 2. Et _x + f(x) = 4 (calculé en 1b). | x | 0 | + | |-----------------|---|-----------| | f'(x) | | + | | f(x) | 2 | 4 | 3) a) Calculer à 10^-3 près : f(0); f(1); f(2). Step 7: Calculer les valeurs de f(x) aux points donnés. On utilise les approximations données pour e et e^2 si nécessaire, ou des valeurs plus précises pour une meilleure exactitude. Pour 10^-3 près, il est préférable d'utiliser des valeurs plus précises pour e si non spécifié, mais ici les valeurs sont données pour la partie 5b, donc nous les utiliserons pour la cohérence. e ≈ 2,71828 e^2 ≈ 7,38906 • Pour f(0) : f(0) = (4e^0)/(e^0+1) = (4 × 1)/(1+1) = (4)/(2) = 2 f(0) = 2,000 • Pour f(1) : f(1) = (4e)/(e+1) En utilisant e ≈ 2,718: f(1) ≈ (4 × 2,718)/(2,718+1) = (10,872)/(3,718) ≈ 2,92404... f(1) ≈ 2,924 • Pour f(2) : f(2) = (4e^2)/(e^2+1) En utilisant e^2 ≈ 7,389: f(2) ≈ (4 × 7,389)/(7,389+1) = (29,556)/(8,389) ≈ 3,52318... f(2) ≈ 3,523 b) Écrire l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse x_0 = 0. Step 8: Écrire l'équation de la tangente. L'équation de la tangente (T) au point d'abscisse x_0 est donnée par la formule : y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0). Ici, x_0 = 0. On a déjà calculé f(0) = 2. Calculons f'(0) : f'(0) = (4e^0)/((e^0+1)^2) = (4 × 1)/((1+1)^2) = (4)/(2^2) = (4)/(4) = 1 Maintenant, on substitue ces valeurs dans la formule de la tangente : y = 1(x-0) + 2 y = x + 2 L'équation de la tangente (T) est y = x+2. 4) Tracer (T) et (C), avec son asymptote, dans un même repère. Step 9: Fournir les éléments pour le tracé. • L'asymptote horizontale est la droite d'équation y=4. • La tangente (T) est la droite d'équation y=x+2. Elle passe par les points (0;2) et (-2;0). • La courbe (C) passe par le point (0;2). • La fonction est croissante. • Quelques points pour le tracé de (C) : (0;2), (1;2,924), (2;3,523). • La courbe (C) part du point (0;2) et monte progressivement vers l'asymptote y=4. 5) Soit F la fonction définie sur [0;+[ par F(x) = 4(e^x+1). a) On rappelle que ( U)' = (U')/(U). Démontrer que F est une primitive de f. Step 10: Démontrer que F'(x) = f(x). On dérive F(x) = 4(e^x+1). On pose U(x) = e^x+1. Alors U'(x) = e^x. En utilisant la formule ( U)' = (U')/(U) : F'(x) = 4 · (e^x)/(e^x+1) F'(x) = (4e^x)/(e^x+1) On reconnaît l'expression de f(x). Donc, F'(x) = f(x), ce qui démontre que F est une primitive de f. b) En déduire, en cm^2 et à 10^-3 près, l'aire A du domaine plan délimité par : la courbe (C), l'axe des abscisses, les droites d'équations x=0 et x=2. On donne : e ≈ 2,7; e^2 ≈ 7,38; (e^2+1) ≈ 2,12; 2 ≈ 0,7. Step 11: Calculer l'aire A. L'aire A est donnée par l'intégrale de f(x) entre 0 et 2. Puisque f(x) = (4e^x)/(e^x+1) est toujours positive sur [0;+[, l'aire est : A = _0^2 f(x)\,dx Puisque F est une primitive de f, on a : A = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) Calculons F(2) et F(0) : F(2) = 4(e^2+1) F(0) = 4(e^0+1) = 4(1+1) = 4 2 Donc, A = 4(e^2+1) - 4 2 Utilisons les valeurs approchées données : (e^2+1) ≈ 2,12 et 2 ≈ 0,7. A ≈ 4 × 2,12 - 4 × 0,7 A ≈ 8,48 - 2,8 A ≈ 5,68 L'unité graphique étant 1 cm, l'aire est en cm^2. A ≈ 5,680 cm^2 POUR A₁ SEULEMENT 6) Soit G la fonction définie sur R par G(x) = (4e^x)/(e^x+1). On note par () sa courbe représentative. a) Démontrer que, pour tout réel x, G(-x) + G(x) = 4. Que signifie ce résultat pour la courbe () ? Step 12: Calculer G(-x) et G(-x) + G(x). On a G(x) = (4e^x)/(e^x+1). Calculons G(-x) : G(-x) = 4e^-xe^-x+1 Pour simplifier G(-x), on multiplie le numérateur et le dénominateur par e^x : G(-x) = 4e^-x · e^x(e^-x+1) · e^x = (4e^0)/(e^0+e^x) = (4)/(1+e^x) Maintenant, calculons G(-x) + G(x) : G(-x) + G(x) = (4)/(1+e^x) + (4e^x)/(e^x+1) G(-x) + G(x) = (4+4e^x)/(e^x+1) G(-x) + G(x) = (4(1+e^x))/(e^x+1) G(-x) + G(x) = 4 L'égalité est démontrée. Step 13: Interpréter le résultat. Le résultat G(-x) + G(x) = 4 signifie que la courbe () est symétrique par rapport au point (0; 2). En effet, si M(x; y) est un point de la courbe, alors M'(-x; 4-y) est aussi un point de la courbe. Le milieu du segment MM' est ((x+(-x))/(2); (y+(4-y))/(2)) = ((0)/(2); (4)/(2)) = (0; 2). b) Tracer, à partir de la courbe (C), la courbe () dans le même repère. Step 14: Fournir les éléments pour le tracé de (). • Pour x 0, la fonction G(x) est identique à f(x), donc la courbe () coïncide avec (C). • La courbe () est définie sur R. Pour x < 0, on utilise la symétrie par rapport au point (0; 2). • L'asymptote horizontale pour x + est y=4. • Calculons la limite de G(x) lorsque x - : _x - G(x) = _x - (4e^x)/(e^x+1) Lorsque x -, e^x 0. Donc, _x - G(x) = (4 × 0)/(0+1) = 0. La droite d'équation y=0 (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale pour x -. • La courbe () passe par le point de symétrie (0;2). • Pour tracer (), on trace d'abord (C) pour x 0. Ensuite, on construit la partie de () pour x < 0 en effectuant une symétrie centrale de la partie x > 0 de (C) par rapport au point (0;2). 3 done, 2 left today. You're making progress.

Accepted Answer · 2026-07-20T21:56:18.165Z

Voici la résolution détaillée du problème de mathématiques. PROBLÈME (10 pts) Soit f la fonction numérique définie sur [0;+[ par : f(x) = (4e^x)/(e^x+1) On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm. 1) a) Vérifier que, pour tout x 0, f(x) = 4(1 - (1)/(e^x+1)). Step 1: Partir de l'expression proposée et la simplifier. On développe l'expression 4(1 - (1)/(e^x+1)) : 4(1 - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x+1)/(e^x+1) - (1)/(e^x+1)) 4(1 - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x+1-1)/(e^x+1)) 4(1 - (1)/(e^x+1)) = 4((e^x)/(e^x+1)) 4(1 - (1)/(e^x+1)) = (4e^x)/(e^x+1) On retrouve bien l'expression de f(x). L'égalité est vérifiée. b) En déduire _x + f(x). Step 2: Calculer la limite en utilisant la forme vérifiée. On utilise la forme f(x) = 4(1 - (1)/(e^x+1)). Lorsque x +, e^x +. Donc, e^x+1 +. Par conséquent, (1)/(e^x+1) 0. Alors, 1 - (1)/(e^x+1) 1 - 0 = 1. Finalement, f(x) 4 × 1 = 4. _x + f(x) = 4 La limite est 4. c) Interpréter graphiquement ce résultat. Step 3: Interpréter la limite en termes d'asymptote. Puisque _x + f(x) = 4, la courbe (C) admet une asymptote horizontale d'équation y=4 lorsque x tend vers +. 2) a) Prouver que, pour tout x 0, f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) où f' désigne la fonction dérivée première de f. Step 4: Calculer la dérivée de f(x). La fonction f(x) = (4e^x)/(e^x+1) est de la forme (u)/(v) avec u(x) = 4e^x et v(x) = e^x+1. Les dérivées sont u'(x) = 4e^x et v'(x) = e^x. La formule de dérivation d'un quotient est ((u)/(v))' = (u'v - uv')/(v^2). f'(x) = ((4e^x)(e^x+1) - (4e^x)(e^x))/((e^x+1)^2) f'(x) = 4e^2x + 4e^x - 4e^2x(e^x+1)^2 f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) L'expression de f'(x) est prouvée. b) Après avoir étudié le sens de variation de f, dresser son tableau de variation. Step 5: Étudier le signe de f'(x) et en déduire le sens de variation. Pour tout x 0 : • e^x > 0, donc 4e^x > 0. • e^x+1 > 0, donc (e^x+1)^2 > 0. Par conséquent, f'(x) = (4e^x)/((e^x+1)^2) > 0 pour tout x 0. La fonction f est donc strictement croissante sur [0;+[. Step 6: Dresser le tableau de variation. On a f(0) = (4e^0)/(e^0+1) = (4)/(1+1) = 2. Et _x + f(x) = 4 (calculé en 1b). | x | 0 | + | |-----------------|---|-----------| | f'(x) | | + | | f(x) | 2 | 4 | 3) a) Calculer à 10^-3 près : f(0); f(1); f(2). Step 7: Calculer les valeurs de f(x) aux points donnés. On utilise les approximations données pour e et e^2 si nécessaire, ou des valeurs plus précises pour une meilleure exactitude. Pour 10^-3 près, il est préférable d'utiliser des valeurs plus précises pour e si non spécifié, mais ici les valeurs sont données pour la partie 5b, donc nous les utiliserons pour la cohérence. e ≈ 2,71828 e^2 ≈ 7,38906 • Pour f(0) : f(0) = (4e^0)/(e^0+1) = (4 × 1)/(1+1) = (4)/(2) = 2 f(0) = 2,000 • Pour f(1) : f(1) = (4e)/(e+1) En utilisant e ≈ 2,718: f(1) ≈ (4 × 2,718)/(2,718+1) = (10,872)/(3,718) ≈ 2,92404... f(1) ≈ 2,924 • Pour f(2) : f(2) = (4e^2)/(e^2+1) En utilisant e^2 ≈ 7,389: f(2) ≈ (4 × 7,389)/(7,389+1) = (29,556)/(8,389) ≈ 3,52318... f(2) ≈ 3,523 b) Écrire l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse x_0 = 0. Step 8: Écrire l'équation de la tangente. L'équation de la tangente (T) au point d'abscisse x_0 est donnée par la formule : y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0). Ici, x_0 = 0. On a déjà calculé f(0) = 2. Calculons f'(0) : f'(0) = (4e^0)/((e^0+1)^2) = (4 × 1)/((1+1)^2) = (4)/(2^2) = (4)/(4) = 1 Maintenant, on substitue ces valeurs dans la formule de la tangente : y = 1(x-0) + 2 y = x + 2 L'équation de la tangente (T) est y = x+2. 4) Tracer (T) et (C), avec son asymptote, dans un même repère. Step 9: Fournir les éléments pour le tracé. • L'asymptote horizontale est la droite d'équation y=4. • La tangente (T) est la droite d'équation y=x+2. Elle passe par les points (0;2) et (-2;0). • La courbe (C) passe par le point (0;2). • La fonction est croissante. • Quelques points pour le tracé de (C) : (0;2), (1;2,924), (2;3,523). • La courbe (C) part du point (0;2) et monte progressivement vers l'asymptote y=4. 5) Soit F la fonction définie sur [0;+[ par F(x) = 4(e^x+1). a) On rappelle que ( U)' = (U')/(U). Démontrer que F est une primitive de f. Step 10: Démontrer que F'(x) = f(x). On dérive F(x) = 4(e^x+1). On pose U(x) = e^x+1. Alors U'(x) = e^x. En utilisant la formule ( U)' = (U')/(U) : F'(x) = 4 · (e^x)/(e^x+1) F'(x) = (4e^x)/(e^x+1) On reconnaît l'expression de f(x). Donc, F'(x) = f(x), ce qui démontre que F est une primitive de f. b) En déduire, en cm^2 et à 10^-3 près, l'aire A du domaine plan délimité par : la courbe (C), l'axe des abscisses, les droites d'équations x=0 et x=2. On donne : e ≈ 2,7; e^2 ≈ 7,38; (e^2+1) ≈ 2,12; 2 ≈ 0,7. Step 11: Calculer l'aire A. L'aire A est donnée par l'intégrale de f(x) entre 0 et 2. Puisque f(x) = (4e^x)/(e^x+1) est toujours positive sur [0;+[, l'aire est : A = _0^2 f(x)\,dx Puisque F est une primitive de f, on a : A = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) Calculons F(2) et F(0) : F(2) = 4(e^2+1) F(0) = 4(e^0+1) = 4(1+1) = 4 2 Donc, A = 4(e^2+1) - 4 2 Utilisons les valeurs approchées données : (e^2+1) ≈ 2,12 et 2 ≈ 0,7. A ≈ 4 × 2,12 - 4 × 0,7 A ≈ 8,48 - 2,8 A ≈ 5,68 L'unité graphique étant 1 cm, l'aire est en cm^2. A ≈ 5,680 cm^2 POUR A₁ SEULEMENT 6) Soit G la fonction définie sur R par G(x) = (4e^x)/(e^x+1). On note par () sa courbe représentative. a) Démontrer que, pour tout réel x, G(-x) + G(x) = 4. Que signifie ce résultat pour la courbe () ? Step 12: Calculer G(-x) et G(-x) + G(x). On a G(x) = (4e^x)/(e^x+1). Calculons G(-x) : G(-x) = 4e^-xe^-x+1 Pour simplifier G(-x), on multiplie le numérateur et le dénominateur par e^x : G(-x) = 4e^-x · e^x(e^-x+1) · e^x = (4e^0)/(e^0+e^x) = (4)/(1+e^x) Maintenant, calculons G(-x) + G(x) : G(-x) + G(x) = (4)/(1+e^x) + (4e^x)/(e^x+1) G(-x) + G(x) = (4+4e^x)/(e^x+1) G(-x) + G(x) = (4(1+e^x))/(e^x+1) G(-x) + G(x) = 4 L'égalité est démontrée. Step 13: Interpréter le résultat. Le résultat G(-x) + G(x) = 4 signifie que la courbe () est symétrique par rapport au point (0; 2). En effet, si M(x; y) est un point de la courbe, alors M'(-x; 4-y) est aussi un point de la courbe. Le milieu du segment MM' est ((x+(-x))/(2); (y+(4-y))/(2)) = ((0)/(2); (4)/(2)) = (0; 2). b) Tracer, à partir de la courbe (C), la courbe () dans le même repère. Step 14: Fournir les éléments pour le tracé de (). • Pour x 0, la fonction G(x) est identique à f(x), donc la courbe () coïncide avec (C). • La courbe () est définie sur R. Pour x < 0, on utilise la symétrie par rapport au point (0; 2). • L'asymptote horizontale pour x + est y=4. • Calculons la limite de G(x) lorsque x - : _x - G(x) = _x - (4e^x)/(e^x+1) Lorsque x -, e^x 0. Donc, _x - G(x) = (4 × 0)/(0+1) = 0. La droite d'équation y=0 (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale pour x -. • La courbe () passe par le point de symétrie (0;2). • Pour tracer (), on trace d'abord (C) pour x 0. Ensuite, on construit la partie de () pour x < 0 en effectuant une symétrie centrale de la partie x > 0 de (C) par rapport au point (0;2). 3 done, 2 left today. You're making progress.

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions