Soit la fonction f, dérivable sur ]0;+infinity[, solution de l'équation différentielle (E) : y'+y = (2)/(x) + 2 x telle que f(1)=e.

Je continue la résolution de l'EXERCICE 5. EXERCICE 5 Soit la fonction f, dérivable sur ]0 ; +[, solution de l'équation différentielle (E) : y' + y = (2)/(x) + 2 x telle que f(1)=e. 1. a) Montrer que la fonction g définie sur ]0 ; +[ par g(x) = 2 x est une solution particulière de (E). L'équation (E) est y' + y = (2)/(x) + 2 x. Calculons la dérivée de g(x) = 2 x : g'(x) = (2)/(x) Vérifions si g'(x) + g(x) est égal au second membre de (E) : g'(x) + g(x) = (2)/(x) + 2 x Puisque g'(x) + g(x) est égal au second membre de (E), la fonction g(x) = 2 x est bien une solution particulière de (E). b) Déterminer les solutions sur ]0 ; +[ de l'équation différentielle (E') : y' + y = 0. L'équation différentielle (E') est une équation linéaire homogène du premier ordre. L'équation caractéristique associée est r+1=0, ce qui donne r=-1. Les solutions de (E') sont de la forme y(x) = Ce^-x, où C est une constante réelle. Les solutions de (E') sont y(x) = Ce^-x, avec C R. 2. a) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de (E'). Soit h(x) = f(x) - g(x). Sens direct : Supposons que f est solution de (E). Alors f'(x) + f(x) = (2)/(x) + 2 x. Comme g est solution de (E), nous avons g'(x) + g(x) = (2)/(x) + 2 x. En soustrayant la deuxième équation de la première : (f'(x) + f(x)) - (g'(x) + g(x)) = ((2)/(x) + 2 x) - ((2)/(x) + 2 x) (f'(x) - g'(x)) + (f(x) - g(x)) = 0 (f-g)'(x) + (f-g)(x) = 0 Ceci signifie que h(x) = f(x) - g(x) est solution de (E'). Sens réciproque : Supposons que f-g est solution de (E'). Alors (f-g)'(x) + (f-g)(x) = 0. f'(x) - g'(x) + f(x) - g(x) = 0. f'(x) + f(x) = g'(x) + g(x). Puisque g est solution de (E), g'(x) + g(x) = (2)/(x) + 2 x. Donc, f'(x) + f(x) = (2)/(x) + 2 x, ce qui signifie que f est solution de (E). L'équivalence est démontrée. b) Déduis des questions précédentes les solutions de (E). D'après la question 2a, f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de (E'). D'après la question 1b, les solutions de (E') sont de la forme Ce^-x. Donc, f(x) - g(x) = Ce^-x. En remplaçant g(x) = 2 x, on obtient : f(x) = 2 x + Ce^-x Les solutions de (E) sont f(x) = 2 x + Ce^-x, avec C R. c) Justifie que f est la fonction définie sur ]0 ; +[ par f(x) = 2 x + e^2-x. Nous savons que f(x) = 2 x + Ce^-x et que f(1)=e. Utilisons la condition f(1)=e pour trouver la valeur de C : f(1) = 2 (1) + Ce^-1 = e 2(0) + (C)/(e) = e (C)/(e) = e C = e^2 En substituant C=e^2 dans l'expression de f(x) : f(x) = 2 x + e^2 e^-x f(x) = 2 x + e^2-x Ceci justifie bien que f est la fonction donnée. 3. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par f(x) = 2 x + e^2-x. a) On admet que _x 0^+ f(x) = -. Interprète graphiquement la limite. L'interprétation graphique de _x 0^+ f(x) = - est que la droite d'équation x=0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe représentative (C) de f. b) Calcule _x + f(x) et _x + (f(x))/(x) puis donne une interprétation graphique des résultats obtenus. Calcul de _x + f(x) : _x + f(x) = _x + (2 x + e^2-x) _x + 2 x = + _x + e^2-x = _x + (e^2)/(e^x) = 0 Donc, _x + f(x) = + + 0 = +. Calcul de _x + (f(x))/(x) : _x + (f(x))/(x) = _x + 2 x + e^2-xx = _x + ((2 x)/(x) + e^2-xx) Nous savons que _x + ( x)/(x) = 0, donc _x + (2 x)/(x) = 0. Pour le second terme : _x + e^2-xx = _x + (e^2)/(x e^x). Puisque x e^x + quand x +, alors _x + (e^2)/(x e^x) = 0. Donc, _x + (f(x))/(x) = 0 + 0 = 0. Interprétation graphique : Puisque _x + f(x) = + et _x + (f(x))/(x) = 0, la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses (OI) en +. 4. On appelle h la fonction numérique définie sur ]0 ; +[ par h(x) = xe^2-x - 2. a) Justifie que x ]0 ; +[, f'(x) = -(h(x))/(x). Calculons la dérivée de f(x) = 2 x + e^2-x : f'(x) = (2)/(x) + e^2-x · (-1) = (2)/(x) - e^2-x Maintenant, calculons -(h(x))/(x) : -(h(x))/(x) = -xe^2-x - 2x = -(xe^2-xx - (2)/(x)) = -(e^2-x - (2)/(x)) = -e^2-x + (2)/(x) = (2)/(x) - e^2-x Puisque les deux expressions sont égales, on a bien x ]0 ; +[, f'(x) = -(h(x))/(x). b) Étudie le sens de variation de f. Le sens de variation de f est donné par le signe de f'(x). Nous avons f'(x) = -(h(x))/(x). Sur ]0 ; +[, x est toujours positif. Donc le signe de f'(x) est l'opposé du signe de h(x). D'après l'énoncé, nous avons le signe de h(x) : x ]0 ; [ ]2 ; +[ : h(x) < 0. Dans ces intervalles, f'(x) = -(h(x))/(x) > 0. Donc f est strictement croissante. x ] ; 2[ : h(x) > 0. Dans cet intervalle, f'(x) = -(h(x))/(x) < 0. Donc f est strictement décroissante. Aux points x= et x=2, h(x)=0, donc f'(x)=0. c) Dresse le tableau de variation de f. Nous avons les valeurs suivantes : _x 0^+ f(x) = -. f() = 2 + e^2-. (L'énoncé donne f() ≈ 3,1 pour ≈ 0,4). f(2) = 2 2 + e^2-2 = 2 2 + e^0 = 2 2 + 1. (L'énoncé donne f(2) ≈ 2,4). _x + f(x) = +. Voici le tableau de variation : |c|ccccccc| x & 0 & & & & 2 & & + \\ h(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ f(x) & - & & f() & & f(2) & & + \\ 5. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique dans l'intervalle ]0 ; [. Considérons la fonction f sur l'intervalle ]0 ; [. f est continue sur ]0 ; [ (car elle est dérivable). f est strictement croissante sur ]0 ; [ (d'après le tableau de variation). _x 0^+ f(x) = -. f() ≈ 3,1 (valeur donnée dans l'énoncé). Puisque 0 ]- ; f()[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection), il existe une unique valeur ]0 ; [ telle que f()=0. 6. Construis la courbe (C) (Tu prendras : = 0,2, f()=0, f()=3,1 avec =0,4 et f(2)=2,4). Unités graphiques : 5 cm sur l'axe (OI) et 2 cm sur l'axe (OJ). Je ne peux pas dessiner le graphique ici, mais voici les éléments clés pour sa construction : Asymptote verticale : L'axe des ordonnées (x=0). La courbe descend vers - le long de cet axe. Point d'intersection avec l'axe des abscisses : ( ; 0) = (0,2 ; 0). Maximum local : ( ; f()) = (0,4 ; 3,1). Minimum local : (2 ; f(2)) = (2 ; 2,4). Branche parabolique : En +, la courbe monte vers + en se rapprochant de la direction de l'axe des abscisses. Unités : Pour placer les points, multipliez les abscisses par 5 cm et les ordonnées par 2 cm. (0,2 ; 0) est à 0,2 × 5 = 1 cm sur l'axe des abscisses. (0,4 ; 3,1) est à 0,4 × 5 = 2 cm sur l'axe des abscisses et 3,1 × 2 = 6,2 cm sur l'axe des ordonnées. (2 ; 2,4) est à 2 × 5 = 10 cm sur l'axe des abscisses et 2,4 × 2 = 4,8 cm sur l'axe des ordonnées. 3 done, 2 left today. You're making progress.