Step 1: बाएँ हाथ की ओर (LHS) से शुरू करें और sin3θ तथा cos3θ के लिए सूत्र लागू करें।
हमें पता है कि:
sin3θ=3sinθ−4sin3θ
cos3θ=4cos3θ−3cosθ
LHS = cos3θ⋅sin3θ+sin3θ⋅cos3θ
LHS = cos3θ(3sinθ−4sin3θ)+sin3θ(4cos3θ−3cosθ)
Step 2: व्यंजक का विस्तार करें।
LHS = 3sinθcos3θ−4sin3θcos3θ+4sin3θcos3θ−3sin3θcosθ
Step 3: समान पदों को रद्द करें।
LHS = 3sinθcos3θ−3sin3θcosθ
Step 4: 3sinθcosθ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें।
LHS = 3sinθcosθ(cos2θ−sin2θ)
Step 5: डबल कोण सूत्रों का उपयोग करें।
हमें पता है कि:
sin2θ=2sinθcosθ⟹sinθcosθ=21sin2θ
cos2θ=cos2θ−sin2θ
इन सूत्रों को LHS में प्रतिस्थापित करें:
LHS = 3(21sin2θ)(cos2θ)
LHS = 23sin2θcos2θ
Step 6: sin4θ के लिए डबल कोण सूत्र लागू करें।
हमें पता है कि sin(2A)=2sinAcosA. यहाँ A=2θ है, तो 2sin2θcos2θ=sin(2⋅2θ)=sin4θ होगा।
LHS = 23⋅21(2sin2θcos2θ)
LHS = 43sin4θ
यह दाहिने हाथ की ओर (RHS) के बराबर है।
LHS = RHS
अतः, यह सिद्ध हो गया है।
cos3θ⋅sin3θ+sin3θ⋅cos3θ=43sin4θ
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