Prove that cos³θ.sin3θ + sin³θ.cos3θ = 3/4 sin4θ

हमें पता है कि:
$\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$
$\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

LHS = $\cos^3\theta \cdot \sin3\theta + \sin^3\theta \cdot \cos3\theta$
LHS = $\cos^3\theta (3\sin\theta - 4\sin^3\theta) + \sin^3\theta (4\cos^3\theta - 3\cos\theta)$

LHS = $3\sin\theta\cos^3\theta - 4\sin^3\theta\cos^3\theta + 4\sin^3\theta\cos^3\theta - 3\sin^3\theta\cos\theta$

LHS = $3\sin\theta\cos^3\theta - 3\sin^3\theta\cos\theta$

LHS = $3\sin\theta\cos\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

हमें पता है कि:
$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta$
$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

इन सूत्रों को LHS में प्रतिस्थापित करें:
LHS = $3 \left(\frac{1}{2}\sin2\theta\right) (\cos2\theta)$
LHS = $\frac{3}{2}\sin2\theta\cos2\theta$

हमें पता है कि $\sin(2A) = 2\sin A \cos A$. यहाँ $A = 2\theta$ है, तो $2\sin2\theta\cos2\theta = \sin(2 \cdot 2\theta) = \sin4\theta$ होगा।
LHS = $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} (2\sin2\theta\cos2\theta)$
LHS = $\frac{3}{4}\sin4\theta$

यह दाहिने हाथ की ओर (RHS) के बराबर है।
LHS = RHS

अतः, यह सिद्ध हो गया है।
$\boxed{\cos^3\theta \cdot \sin3\theta + \sin^3\theta \cdot \cos3\theta = \frac{3}{4}\sin4\theta}$