Show that if y = (1 + Cos(2x)) / Sin(2x), then dy/dx = −2[1 + Cos(2x)] / Sin²(2x)

Question

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Pour montrer la dérivée de la fonction donnée, nous allons utiliser la règle du quotient.

La fonction est:

y = \frac{1 + \cos(2x)}{\sin(2x)}

La règle du quotient pour la dérivation est:

\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}

où $u = 1 + \cos(2x)$ et $v = \sin(2x)$ .

Calculer les dérivées de $u$ et $v$ .
Dérivée de $u$ :
$u' = \frac{d}{dx}(1 + \cos(2x))$ $u' = 0 - \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x)$ $u' = -2\sin(2x)$
Dérivée de $v$ :
$v' = \frac{d}{dx}(\sin(2x))$ $v' = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x)$ $v' = 2\cos(2x)$
Appliquer la règle du quotient.
$\frac{dy}{dx} = \frac{(-2\sin(2x))(\sin(2x)) - (1 + \cos(2x))(2\cos(2x))}{(\sin(2x))^2}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin^2(2x) - (2\cos(2x) + 2\cos^2(2x))}{\sin^2(2x)}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin^2(2x) - 2\cos(2x) - 2\cos^2(2x)}{\sin^2(2x)}$
Simplifier le numérateur en utilisant l'identité trigonométrique $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ .
Regrouper les termes avec $\sin^2(2x)$ et $\cos^2(2x)$ :
$-2\sin^2(2x) - 2\cos^2(2x) = -2(\sin^2(2x) + \cos^2(2x))$ $-2(\sin^2(2x) + \cos^2(2x)) = -2(1) = -2$
Substituer cette simplification dans le numérateur:
$\text{Numérateur} = -2 - 2\cos(2x)$ $\text{Numérateur} = -2(1 + \cos(2x))$
Écrire l'expression finale de $\frac{dy}{dx}$ .
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(1 + \cos(2x))}{\sin^2(2x)}$
Ceci correspond à l'expression que nous devions montrer.
$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{-2[1 + \cos(2x)]}{\sin^2(2x)}}$

Show that if y = (1 + Cos(2x)) / Sin(2x), then dy/dx = -2[1 + Cos(2x)] / Sin²(2x)