The doctor prescribes a minimum of 14 units of vitamin A and 21 units of vitamin C. What are the least portions of food 1 and food 2 that will fit the doctor's prescriptions?

Wacha $x$ iwe idadi ya siku ambazo printa N inafanya kazi.
Wacha $y$ iwe idadi ya siku ambazo printa T inafanya kazi.

Kazi ya gharama (ya kupunguza) ni jumla ya gharama za uendeshaji za kila siku kwa printa zote mbili.

Kulingana na uzalishaji wa vitabu na maagizo:

• Vitabu vya Aina ya I: Printa N inazalisha 80 kwa siku, T inazalisha 20 kwa siku. Agizo ni 1600. $$80x + 20y \ge 1600$$
• Vitabu vya Aina ya II: Printa N inazalisha 10 kwa siku, T inazalisha 10 kwa siku. Agizo ni 500. $$10x + 10y \ge 500$$
• Vitabu vya Aina ya III: Printa N inazalisha 20 kwa siku, T inazalisha 70 kwa siku. Agizo ni 2100. $$20x + 70y \ge 2100$$
• Vikwazo vya kutokuwa hasi: Idadi ya siku haiwezi kuwa hasi. $$x \ge 0, y \ge 0$$

Gawanya kila mlinganyo kwa nambari inayofaa:

1. $80x + 20y \ge 1600 \implies 4x + y \ge 80$ (Gawanya kwa 20)
2. $10x + 10y \ge 500 \implies x + y \ge 50$ (Gawanya kwa 10)
3. $20x + 70y \ge 2100 \implies 2x + 7y \ge 210$ (Gawanya kwa 10)

Tunahitaji kutafuta makutano ya mistari ya mipaka:

• Makutano ya $4x + y = 80$ na $x + y = 50$: Toa mlinganyo wa pili kutoka wa kwanza: $(4x + y) - (x + y) = 80 - 50$ $3x = 30 \implies x = 10$ Badilisha $x=10$ kwenye $x+y=50$: $10+y=50 \implies y=40$. Pointi ya kona: $(10, 40)$

• Makutano ya $x + y = 50$ na $2x + 7y = 210$: Kutoka $x+y=50$, tunapata $x = 50-y$. Badilisha kwenye mlinganyo wa pili: $2(50-y) + 7y = 210$ $100 - 2y + 7y = 210$ $5y = 110 \implies y = 22$ Badilisha $y=22$ kwenye $x=50-y$: $x = 50-22 = 28$. Pointi ya kona: $(28, 22)$

Pointi zingine za kona zinapatikana kwenye shoka (axes) ambapo eneo linalowezekana linaanza:

• Makutano ya $y$-axis ($x=0$) na $4x+y=80$: $y=80$. Pointi: $(0, 80)$.
• Makutano ya $x$-axis ($y=0$) na $2x+7y=210$: $2x=210 \implies x=105$. Pointi: $(105, 0)$.

Pointi za kona za eneo linalowezekana ni: $(0, 80)$, $(10, 40)$, $(28, 22)$, na $(105, 0)$.

• Kwa $(0, 80)$: $$C = 10000(0) + 20000(80) = 0 + 1,600,000 = 1,600,000$$
• Kwa $(10, 40)$: $$C = 10000(10) + 20000(40) = 100,000 + 800,000 = 900,000$$
• Kwa $(28, 22)$: $$C = 10000(28) + 20000(22) = 280,000 + 440,000 = 720,000$$
• Kwa $(105, 0)$: $$C = 10000(105) + 20000(0) = 1,050,000 + 0 = 1,050,000$$

Gharama ya chini kabisa ni 720,000 shilingi. Hii hutokea wakati printa N inafanya kazi kwa siku 28 na printa T inafanya kazi kwa siku 22.

Printa N inapaswa kufanya kazi kwa siku 28 na printa T inapaswa kufanya kazi kwa siku 22 ili kukidhi maagizo kwa gharama ya chini kabisa.