The G.C.D. and L.C.M. of three numbers are 3 and 1008 respectively. If two of the numbers are 48 and 72, find the least possible value of the third number.

na L.C.M. katika vizidisho vikuu.
Tunazo nambari $N_1 = 48$, $N_2 = 72$. Acha nambari ya tatu iwe $N_3 = c$.
G.C.D. $= 3 = 2^0 \times 3^1 \times 7^0$
L.C.M. $= 1008 = 2^4 \times 3^2 \times 7^1$

Vizidisho vikuu vya nambari zilizopewa:
$N_1 = 48 = 2^4 \times 3^1 \times 7^0$
$N_2 = 72 = 2^3 \times 3^2 \times 7^0$
Acha $N_3 = c = 2^x \times 3^y \times 7^z$.

na L.C.M. kwa kila kizidisho kikuu.
Kwa G.C.D., exponent ya kila kizidisho kikuu ni ndogo zaidi ya exponents za vizidisho hivyo katika nambari zote.
Kwa L.C.M., exponent ya kila kizidisho kikuu ni kubwa zaidi ya exponents za vizidisho hivyo katika nambari zote.

Kwa kizidisho kikuu 2:
$\min(4, 3, x) = 0 \implies x = 0$
$\max(4, 3, x) = 4 \implies \max(4, 3, 0) = 4$. Hii inathibitisha $x=0$.

Kwa kizidisho kikuu 3:
$\min(1, 2, y) = 1 \implies y \ge 1$
$\max(1, 2, y) = 2 \implies y \le 2$
Hivyo, $y$ inaweza kuwa 1 au 2.

Kwa kizidisho kikuu 7:
$\min(0, 0, z) = 0$
$\max(0, 0, z) = 1 \implies z = 1$
Hivyo, $z=1$.

Kutoka hatua ya 2, $c = 2^x \times 3^y \times 7^z$ ambapo $x=0$, $y \in \{1, 2\}$, na $z=1$.
Ikiwa $y=1$: $c = 2^0 \times 3^1 \times 7^1 = 1 \times 3 \times 7 = 21$.
Ikiwa $y=2$: $c = 2^0 \times 3^2 \times 7^1 = 1 \times 9 \times 7 = 63$.

Thamani ndogo kabisa kati ya 21 na 63 ni 21.

Nambari ya tatu ni $\boxed{\text{21}}$.

Equation ya mstari uliotolewa ni $3y = 5-2x$.
Iandike upya katika fomu $y = kx + c$:

Gradient ya mstari huu, $k_1$, ni $-\frac{2}{3}$.

Kwa kuwa mistari miwili ni perpendicular, bidhaa ya gradients zao ni -1.
Acha gradient ya mstari unaopitia A na B iwe $k_2$.

Fomula ya gradient kati ya pointi mbili $(x_1, y_1)$ na $(x_2, y_2)$ ni $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Panua pande zote mbili kwa 2:

Ongeza 1 kwa pande zote mbili:

Thamani ya $m$ ni $\boxed{\text{4}}$.

Kukokotoa kwa usahihi wa sehemu nne za desimali:

Jumla ni $\boxed{\text{87.7878}}$.