The polynomial f(x) is defined by f(x) = 3 − ax + bx2 − x3. When f(x) is divided by (x+2) the remainder is 45. Given that (3-x) is a factor of f(x), find the values of the real constants a and b.

Lorsque $f(x)$ est divisé par $(x+2)$, le reste est 45. Selon le théorème du reste, $f(-2) = 45$.

$$f(-2) = 3 - a(-2) + b(-2)^2 - (-2)^3 = 45$$ $$3 + 2a + 4b - (-8) = 45$$ $$3 + 2a + 4b + 8 = 45$$ $$2a + 4b + 11 = 45$$ $$2a + 4b = 34$$

En divisant par 2, on obtient la première équation :

$$a + 2b = 17 \quad (1)$$

Puisque $(3-x)$ est un facteur de $f(x)$, cela signifie que $f(3) = 0$.

$$f(3) = 3 - a(3) + b(3)^2 - (3)^3 = 0$$ $$3 - 3a + 9b - 27 = 0$$ $$-3a + 9b - 24 = 0$$ $$-3a + 9b = 24$$

En divisant par 3, on obtient la deuxième équation :

$$-a + 3b = 8 \quad (2)$$

Nous avons le système :

1. $a + 2b = 17$
2. $-a + 3b = 8$

Additionnons les équations (1) et (2) :

$$(a + 2b) + (-a + 3b) = 17 + 8$$ $$5b = 25$$ $$b = 5$$

Substituons $b=5$ dans l'équation (1) :

$$a + 2(5) = 17$$ $$a + 10 = 17$$ $$a = 7$$

Les valeurs des constantes sont $a=7$ et $b=5$.

Les valeurs des constantes sont $\boxed{a=7, b=5}$.

1. (ii) Pour exprimer $\frac{5x}{(x+3)(x-2)}$ en fractions partielles, nous allons décomposer la fraction.

Puisque le dénominateur a deux facteurs linéaires distincts, nous pouvons écrire :

$$\frac{5x}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$$

Pour trouver $A$, posons $x = -3$ :

$$5(-3) = A(-3-2) + B(-3+3)$$ $$-15 = A(-5) + B(0)$$ $$-15 = -5A$$ $$A = 3$$

Pour trouver $B$, posons $x = 2$ :

$$5(2) = A(2-2) + B(2+3)$$ $$10 = A(0) + B(5)$$ $$10 = 5B$$ $$B = 2$$

$$\frac{5x}{(x+3)(x-2)} = \frac{3}{x+3} + \frac{2}{x-2}$$

L'expression en fractions partielles est $\boxed{\frac{3}{x+3} + \frac{2}{x-2}}$.