The polynomial f(x) is defined by f(x) = 3 - ax + bx2 - x3. When f(x) is divided by (x+2) the remainder is 45. Given that (3-x) is a factor of f(x), find the values of the real constants a and b.

1. (i) Pour trouver les valeurs des constantes a et b, nous allons utiliser le théorème du reste et le théorème des facteurs. Le polynôme est f(x) = 3 - ax + bx^2 - x^3. Step 1: Utiliser le théorème du reste. Lorsque f(x) est divisé par (x+2), le reste est 45. Selon le théorème du reste, f(-2) = 45. f(-2) = 3 - a(-2) + b(-2)^2 - (-2)^3 = 45 3 + 2a + 4b - (-8) = 45 3 + 2a + 4b + 8 = 45 2a + 4b + 11 = 45 2a + 4b = 34 En divisant par 2, on obtient la première équation : a + 2b = 17 (1) Step 2: Utiliser le théorème des facteurs. Puisque (3-x) est un facteur de f(x), cela signifie que f(3) = 0. f(3) = 3 - a(3) + b(3)^2 - (3)^3 = 0 3 - 3a + 9b - 27 = 0 -3a + 9b - 24 = 0 -3a + 9b = 24 En divisant par 3, on obtient la deuxième équation : -a + 3b = 8 (2) Step 3: Résoudre le système d'équations linéaires. Nous avons le système : 1) a + 2b = 17 2) -a + 3b = 8 Additionnons les équations (1) et (2) : (a + 2b) + (-a + 3b) = 17 + 8 5b = 25 b = 5 Substituons b=5 dans l'équation (1) : a + 2(5) = 17 a + 10 = 17 a = 7 Les valeurs des constantes sont a=7 et b=5. Les valeurs des constantes sont a=7, b=5. 1. (ii) Pour exprimer (5x)/((x+3)(x-2)) en fractions partielles, nous allons décomposer la fraction. Step 1: Poser la décomposition en fractions partielles. Puisque le dénominateur a deux facteurs linéaires distincts, nous pouvons écrire : (5x)/((x+3)(x-2)) = (A)/(x+3) + (B)/(x-2) Step 2: Combiner les fractions du côté droit. (5x)/((x+3)(x-2)) = (A(x-2) + B(x+3))/((x+3)(x-2)) Step 3: Égaliser les numérateurs. 5x = A(x-2) + B(x+3) Step 4: Résoudre pour A et B en utilisant la substitution. Pour trouver A, posons x = -3 : 5(-3) = A(-3-2) + B(-3+3) -15 = A(-5) + B(0) -15 = -5A A = 3 Pour trouver B, posons x = 2 : 5(2) = A(2-2) + B(2+3) 10 = A(0) + B(5) 10 = 5B B = 2 Step 5: Écrire la décomposition en fractions partielles. (5x)/((x+3)(x-2)) = (3)/(x+3) + (2)/(x-2) L'expression en fractions partielles est (3)/(x+3) + (2)/(x-2). Envoie-moi la prochaine 📸