This question paper consists of two exercises and a problem all on two pages.

Pour résoudre ce système d'équations linéaires complexes en utilisant la méthode de Gauss, nous allons exprimer z_2, z_3, z_4 en fonction de z_1 et des affixes a_i. Le système donné est : 1) z_1 + z_2 = 2a_1 2) z_2 + z_3 = 2a_2 3) z_3 + z_4 = 2a_3 4) z_4 + z_1 = 2a_4 Étape 1: Exprimer z_2 en fonction de z_1. De l'équation (1), nous avons : z_2 = 2a_1 - z_1 Étape 2: Exprimer z_3 en fonction de z_1. Substituons z_2 dans l'équation (2) : (2a_1 - z_1) + z_3 = 2a_2 z_3 = 2a_2 - 2a_1 + z_1 Étape 3: Exprimer z_4 en fonction de z_1. Substituons z_3 dans l'équation (3) : (2a_2 - 2a_1 + z_1) + z_4 = 2a_3 z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - z_1 Étape 4: Vérifier la cohérence du système et déterminer z_1. Substituons l'expression de z_4 dans l'équation (4) : (2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - z_1) + z_1 = 2a_4 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 = 2a_4 En divisant par 2, nous obtenons la condition de cohérence : a_1 - a_2 + a_3 - a_4 = 0 ou de manière équivalente : a_1 + a_3 = a_2 + a_4 Cette condition signifie que le quadrilatère A_1A_2A_3A_4 est un parallélogramme (car les milieux de ses diagonales coïncident). Si cette condition n'est pas remplie, le système n'a pas de solution. Si cette condition est remplie, l'équation (4) est satisfaite quelle que soit la valeur de z_1. Cela signifie que le système est indéterminé et admet une infinité de solutions. Nous pouvons choisir z_1 comme un nombre complexe arbitraire, disons k. Les solutions sont alors : z_1 = k z_2 = 2a_1 - k z_3 = 2a_2 - 2a_1 + k z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - k où k est un nombre complexe arbitraire. Pour obtenir une solution unique, on peut par exemple imposer une condition supplémentaire, comme z_1+z_3 = z_2+z_4 (si M_1M_2M_3M_4 est un parallélogramme). Si z_1+z_3 = z_2+z_4, alors : k + (2a_2 - 2a_1 + k) = (2a_1 - k) + (2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - k) 2k + 2a_2 - 2a_1 = 4a_1 - 2k + 2a_3 - 2a_2 4k = 6a_1 - 4a_2 + 2a_3 k = (3)/(2)a_1 - a_2 + (1)/(2)a_3. Dans ce cas, les solutions seraient : z_1 = (3)/(2)a_1 - a_2 + (1)/(2)a_3 z_2 = 2a_1 - ((3)/(2)a_1 - a_2 + (1)/(2)a_3) = (1)/(2)a_1 + a_2 - (1)/(2)a_3 z_3 = 2a_2 - 2a_1 + ((3)/(2)a_1 - a_2 + (1)/(2)a_3) = -(1)/(2)a_1 + a_2 + (1)/(2)a_3 z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - ((3)/(2)a_1 - a_2 + (1)/(2)a_3) = (1)/(2)a_1 - a_2 + (3)/(2)a_3 Cependant, le problème ne spécifie pas que M_1M_2M_3M_4 est un parallélogramme. Par conséquent, la solution générale est celle avec le paramètre k. Conclusion: Le système d'équations a des solutions si et seulement si la condition a_1 - a_2 + a_3 - a_4 = 0 est satisfaite. Si cette condition est remplie, les nombres complexes z_1, z_2, z_3, z_4 sont donnés par : z_1 = k \\ z_2 = 2a_1 - k \\ z_3 = 2a_2 - 2a_1 + k \\ z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - k où k est un nombre complexe arbitraire. Envoie-moi la prochaine 📸