This question paper consists of two exercises and a problem all on two pages.

De l'équation (1), nous avons :

$$z_2 = 2a_1 - z_1$$

Substituons $z_2$ dans l'équation (2) :
$(2a_1 - z_1) + z_3 = 2a_2$

$$z_3 = 2a_2 - 2a_1 + z_1$$

Substituons $z_3$ dans l'équation (3) :
$(2a_2 - 2a_1 + z_1) + z_4 = 2a_3$

$$z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - z_1$$

Substituons l'expression de $z_4$ dans l'équation (4) :
$(2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - z_1) + z_1 = 2a_4$
$2a_3 - 2a_2 + 2a_1 = 2a_4$
En divisant par 2, nous obtenons la condition de cohérence :

$$a_1 - a_2 + a_3 - a_4 = 0$$

ou de manière équivalente :

$$a_1 + a_3 = a_2 + a_4$$

Cette condition signifie que le quadrilatère $A_1A_2A_3A_4$ est un parallélogramme (car les milieux de ses diagonales coïncident).

Si cette condition n'est pas remplie, le système n'a pas de solution.
Si cette condition est remplie, l'équation (4) est satisfaite quelle que soit la valeur de $z_1$. Cela signifie que le système est indéterminé et admet une infinité de solutions. Nous pouvons choisir $z_1$ comme un nombre complexe arbitraire, disons $k$.

Les solutions sont alors :

$$z_1 = k$$ $$z_2 = 2a_1 - k$$ $$z_3 = 2a_2 - 2a_1 + k$$ $$z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - k$$

où $k$ est un nombre complexe arbitraire.

Pour obtenir une solution unique, on peut par exemple imposer une condition supplémentaire, comme $z_1+z_3 = z_2+z_4$ (si $M_1M_2M_3M_4$ est un parallélogramme).
Si $z_1+z_3 = z_2+z_4$, alors :
$k + (2a_2 - 2a_1 + k) = (2a_1 - k) + (2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - k)$
$2k + 2a_2 - 2a_1 = 4a_1 - 2k + 2a_3 - 2a_2$
$4k = 6a_1 - 4a_2 + 2a_3$
$k = \frac{3}{2}a_1 - a_2 + \frac{1}{2}a_3$.
Dans ce cas, les solutions seraient :
$z_1 = \frac{3}{2}a_1 - a_2 + \frac{1}{2}a_3$
$z_2 = 2a_1 - (\frac{3}{2}a_1 - a_2 + \frac{1}{2}a_3) = \frac{1}{2}a_1 + a_2 - \frac{1}{2}a_3$
$z_3 = 2a_2 - 2a_1 + (\frac{3}{2}a_1 - a_2 + \frac{1}{2}a_3) = -\frac{1}{2}a_1 + a_2 + \frac{1}{2}a_3$
$z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - (\frac{3}{2}a_1 - a_2 + \frac{1}{2}a_3) = \frac{1}{2}a_1 - a_2 + \frac{3}{2}a_3$

Cependant, le problème ne spécifie pas que $M_1M_2M_3M_4$ est un parallélogramme. Par conséquent, la solution générale est celle avec le paramètre $k$.

Conclusion:
Le système d'équations a des solutions si et seulement si la condition $a_1 - a_2 + a_3 - a_4 = 0$ est satisfaite.
Si cette condition est remplie, les nombres complexes $z_1, z_2, z_3, z_4$ sont donnés par :

$$\boxed{\begin{cases} z_1 = k \\ z_2 = 2a_1 - k \\ z_3 = 2a_2 - 2a_1 + k \\ z_4 = 2a_3 - 2a_2 + 2a_1 - k \end{cases}}$$

où $k$ est un nombre complexe arbitraire.