Une bille de masse m est suspendue par un fil de longueur L à un point fixe O. La bille est initialement en position A, puis elle passe par la position B avant d'atteindre sa position d'équilibre C. E

Voici la solution de l'Exercice 5.

1) Représenter les forces appliquées à la bille.
Les forces appliquées à la bille sont :

• Le poids $\vec{P}$ de la bille, dirigé verticalement vers le bas, d'intensité $P = mg$.
• La tension $\vec{T}$ du fil, dirigée le long du fil vers le point de fixation O.

2) Déterminer l'expression littérale du travail du poids de la bille entre A et B en fonction de m, g, L, $\alpha$ et $\beta$.

Le travail du poids est donné par la formule $W_{AB}(\vec{P}) = mg(h_A - h_B)$, où $h_A$ et $h_B$ sont les hauteurs des points A et B par rapport à une référence.
Prenons le point de fixation O comme origine de l'axe vertical. La hauteur de la bille est alors $y = -L \cos \theta$.
La hauteur du point A est $y_A = -L \cos \beta$.
La hauteur du point B est $y_B = -L \cos \alpha$.

Le travail du poids entre A et B est :

$$W_{AB}(\vec{P}) = mg(y_A - y_B)$$ $$W_{AB}(\vec{P}) = mg(-L \cos \beta - (-L \cos \alpha))$$ $$W_{AB}(\vec{P}) = mgL(\cos \alpha - \cos \beta)$$

L'expression littérale du travail du poids entre A et B est :

$$\boxed{W_{AB}(\vec{P}) = mgL(\cos \alpha - \cos \beta)}$$

3) Calculer le travail du poids de cette bille entre la position initiale et la position d'équilibre.

La position initiale est A, où l'angle avec la verticale est $\beta = 60^\circ$.
La position d'équilibre est le point le plus bas C, où l'angle avec la verticale est $0^\circ$.
Nous utilisons l'expression trouvée en 2) en remplaçant $\beta$ par $60^\circ$ et $\alpha$ par $0^\circ$.
Données : $m = 0.08 \text{ kg}$, $L = 0.5 \text{ m}$, $g \approx 9.81 \text{ m/s}^2$.
$\cos 0^\circ = 1$.
$\cos 60^\circ = 0.5$.