This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिया गया कथन है कि sqrt(5) एक परिमेय संख्या है। हमें यह निर्धारित करना है कि यह कथन सत्य है या असत्य। Step 2: हम विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे कि sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। मान लीजिए कि sqrt(5) एक परिमेय संख्या है। यदि sqrt(5) एक परिमेय संख्या है, तो इसे (p)/(q) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0, और p तथा q सह-अभाज्य हैं (अर्थात, उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)। sqrt(5) = (p)/(q) Step 3: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (sqrt(5))^2 = ((p)/(q))^2 5 = (p^2)/(q^2) 5q^2 = p^2 (1) इसका अर्थ है कि p^2, 5 से विभाज्य है। यदि p^2, 5 से विभाज्य है, तो p भी 5 से विभाज्य होगा (क्योंकि 5 एक अभाज्य संख्या है)। Step 4: चूंकि p, 5 से विभाज्य है, हम p = 5k लिख सकते हैं, जहाँ k कोई पूर्णांक है। इस मान को समीकरण (1) में रखने पर: 5q^2 = (5k)^2 5q^2 = 25k^2 Step 5: दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर: q^2 = 5k^2 इसका अर्थ है कि q^2, 5 से विभाज्य है। यदि q^2, 5 से विभाज्य है, तो q भी 5 से विभाज्य होगा। Step 6: हमने पाया कि p और q दोनों 5 से विभाज्य हैं। यह हमारी प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है कि p और q सह-अभाज्य हैं (अर्थात, उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)। Step 7: चूंकि हमारी धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है, इसलिए हमारी प्रारंभिक धारणा कि sqrt(5) एक परिमेय संख्या है, गलत होनी चाहिए। अतः, sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। Step 8: इसलिए, दिया गया कथन "sqrt(5) एक परिमेय संख्या है" असत्य है। कथन असत्य है, sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। अगला प्रश्न भेजें 📸