A continuous-time signal x(t) is shown in Figure (1) and a discrete-time signal x[n] is shown in Figure (2), Sketch and Label carefully each of them. (a) 0.5x(4t-2); (b) x[2n+1]

Les points de changement de pente ou de valeur du signal $x(t)$ sont :

• $t = -3 \implies x(-3) = 0$
• $t = -2 \implies x(-2) = 2$
• $t = -1 \implies x(-1) = 2$
• $t = 0 \implies x(0^-) = 0$ (juste avant la discontinuité)
• $t = 0 \implies x(0^+) = 1$ (juste après la discontinuité)
• $t = 1 \implies x(1) = 0$ En dehors de l'intervalle $[-3 ; 1]$, $x(t)=0$.

Nous calculons les nouvelles coordonnées $(t_{nouv}, y)$ pour chaque point clé :

• Pour $t_{orig} = -3$: $t_{nouv} = \frac{-3+2}{4} = \frac{-1}{4} = -0,25$. $y = 0,5 \times 0 = 0$. Point : $(-0,25 ; 0)$.
• Pour $t_{orig} = -2$: $t_{nouv} = \frac{-2+2}{4} = 0$. $y = 0,5 \times 2 = 1$. Point : $(0 ; 1)$.
• Pour $t_{orig} = -1$: $t_{nouv} = \frac{-1+2}{4} = \frac{1}{4} = 0,25$. $y = 0,5 \times 2 = 1$. Point : $(0,25 ; 1)$.
• Pour $t_{orig} = 0$ ($x(0^-)$): $t_{nouv} = \frac{0+2}{4} = 0,5$. $y = 0,5 \times 0 = 0$. Point : $(0,5 ; 0)$.
• Pour $t_{orig} = 0$ ($x(0^+)$): $t_{nouv} = \frac{0+2}{4} = 0,5$. $y = 0,5 \times 1 = 0,5$. Point : $(0,5 ; 0,5)$.
• Pour $t_{orig} = 1$: $t_{nouv} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$. $y = 0,5 \times 0 = 0$. Point : $(0,75 ; 0)$.

Le signal $y(t)$ est nul pour $t < -0,25$ et $t > 0,75$.

• Pour $t \in [-0,25 ; 0]$ : $y(t)$ augmente linéairement de 0 à 1.
• Pour $t \in [0 ; 0,25]$ : $y(t)$ est constant à 1.
• Pour $t \in [0,25 ; 0,5]$ : $y(t)$ est constant à 0. (Il y a une discontinuité à $t=0,5$ où la valeur passe de 0 à 0,5).
• Pour $t \in [0,5 ; 0,75]$ : $y(t)$ diminue linéairement de 0,5 à 0.

Partie (b) : Esquisser $y[n] = x[2n+1]$

Le signal discret $x[n]$ est donné dans la Figure (2). Nous devons évaluer $x[2n+1]$ pour différentes valeurs entières de $n$.
La transformation $k = 2n+1$ signifie que seuls les indices $k$ impairs du signal original $x[n]$ seront présents dans le nouveau signal $y[n]$. De plus, le signal sera compressé dans le temps.

• $x[-3] = -1$
• $x[-2] = -2$
• $x[-1] = 1$
• $x[0] = 2$
• $x[1] = 2$
• $x[2] = 1$
• $x[3] = 2$
• $x[4] = 1$
• $x[5] = 0$ Pour $n < -3$ ou $n > 5$, $x[n]=0$.

Nous cherchons les valeurs de $n$ pour lesquelles $2n+1$ est dans l'intervalle $[-3 ; 5]$.
$-3 \le 2n+1 \le 5$
$-4 \le 2n \le 4$
$-2 \le n \le 2$
Nous calculons $y[n]$ pour $n \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ :

• Pour $n = -2$: $y[-2] = x[2(-2)+1] = x[-3] = -1$.
• Pour $n = -1$: $y[-1] = x[2(-1)+1] = x[-1] = 1$.
• Pour $n = 0$: $y[0] = x[2(0)+1] = x[1] = 2$.
• Pour $n = 1$: $y[1] = x[2(1)+1] = x[3] = 2$.
• Pour $n = 2$: $y[2] = x[2(2)+1] = x[5] = 0$.

Le signal $y[n]$ est nul pour $n < -2$ et $n > 2$. Les valeurs non nulles sont :

• $y[-2] = -1$
• $y[-1] = 1$
• $y[0] = 2$
• $y[1] = 2$
• $y[2] = 0$

Voici les descriptions des signaux transformés pour que vous puissiez les tracer :

a) Signal $y(t) = 0,5X(4t-2)$
Le signal commence à $y(t)=0$ pour $t < -0,25$.
Il monte linéairement de $y(-0,25)=0$ à $y(0)=1$.
Il reste constant à $y(t)=1$ pour $t \in [0 ; 0,25]$.
Il descend à $y(t)=0$ et reste constant à $y(t)=0$ pour $t \in [0,25 ; 0,5]$.
À $t=0,5$, il y a une discontinuité où la valeur saute de 0 à 0,5.
Il descend linéairement de $y(0,5)=0,5$ à $y(0,75)=0$.
Le signal est $y(t)=0$ pour $t > 0,75$.

b) Signal $y[n] = x[2n+1]$
Le signal discret a les valeurs suivantes :
$y[-2] = -1$
$y[-1] = 1$
$y[0] = 2$
$y[1] = 2$
$y[2] = 0$
Toutes les autres valeurs de $y[n]$ sont 0.