A continuous-time signal x(t) is shown in Figure (1) and a discrete-time signal x[n] is shown in Figure (2), Sketch and Label carefully each of them. (a) 0.5x(4t-2); (b) x[2n+1]

Voici la résolution des transformations de signaux demandées. Partie (a) : Esquisser y(t) = 0,5X(4t-2) Le signal continu x(t) est donné dans la Figure (1). Nous devons appliquer une mise à l'échelle d'amplitude et des transformations temporelles. La transformation temporelle est de la forme t_nouv = t_orig + ba pour x(at-b). Ici, a=4 et b=2. L'échelle d'amplitude est de 0,5. Step 1: Identifier les points clés du signal x(t). Les points de changement de pente ou de valeur du signal x(t) sont : • t = -3 x(-3) = 0 • t = -2 x(-2) = 2 • t = -1 x(-1) = 2 • t = 0 x(0^-) = 0 (juste avant la discontinuité) • t = 0 x(0^+) = 1 (juste après la discontinuité) • t = 1 x(1) = 0 En dehors de l'intervalle [-3 ; 1], x(t)=0. Step 2: Appliquer la transformation temporelle t_nouv = t_orig + 24 et la mise à l'échelle d'amplitude y = 0,5x. Nous calculons les nouvelles coordonnées (t_nouv, y) pour chaque point clé : • Pour t_orig = -3: t_nouv = (-3+2)/(4) = (-1)/(4) = -0,25. y = 0,5 × 0 = 0. Point : (-0,25 ; 0). • Pour t_orig = -2: t_nouv = (-2+2)/(4) = 0. y = 0,5 × 2 = 1. Point : (0 ; 1). • Pour t_orig = -1: t_nouv = (-1+2)/(4) = (1)/(4) = 0,25. y = 0,5 × 2 = 1. Point : (0,25 ; 1). • Pour t_orig = 0 (x(0^-)): t_nouv = (0+2)/(4) = 0,5. y = 0,5 × 0 = 0. Point : (0,5 ; 0). • Pour t_orig = 0 (x(0^+)): t_nouv = (0+2)/(4) = 0,5. y = 0,5 × 1 = 0,5. Point : (0,5 ; 0,5). • Pour t_orig = 1: t_nouv = (1+2)/(4) = (3)/(4) = 0,75. y = 0,5 × 0 = 0. Point : (0,75 ; 0). Step 3: Décrire le tracé du signal y(t). Le signal y(t) est nul pour t < -0,25 et t > 0,75. • Pour t [-0,25 ; 0] : y(t) augmente linéairement de 0 à 1. • Pour t [0 ; 0,25] : y(t) est constant à 1. • Pour t [0,25 ; 0,5] : y(t) est constant à 0. (Il y a une discontinuité à t=0,5 où la valeur passe de 0 à 0,5). • Pour t [0,5 ; 0,75] : y(t) diminue linéairement de 0,5 à 0. Partie (b) : Esquisser y[n] = x[2n+1] Le signal discret x[n] est donné dans la Figure (2). Nous devons évaluer x[2n+1] pour différentes valeurs entières de n. La transformation k = 2n+1 signifie que seuls les indices k impairs du signal original x[n] seront présents dans le nouveau signal y[n]. De plus, le signal sera compressé dans le temps. Step 1: Identifier les valeurs du signal x[n] à partir de la Figure (2). • x[-3] = -1 • x[-2] = -2 • x[-1] = 1 • x[0] = 2 • x[1] = 2 • x[2] = 1 • x[3] = 2 • x[4] = 1 • x[5] = 0 Pour n < -3 ou n > 5, x[n]=0. Step 2: Déterminer les valeurs de y[n] = x[2n+1]. Nous cherchons les valeurs de n pour lesquelles 2n+1 est dans l'intervalle [-3 ; 5]. -3 2n+1 5 -4 2n 4 -2 n 2 Nous calculons y[n] pour n \-2, -1, 0, 1, 2\ : • Pour n = -2: y[-2] = x[2(-2)+1] = x[-3] = -1. • Pour n = -1: y[-1] = x[2(-1)+1] = x[-1] = 1. • Pour n = 0: y[0] = x[2(0)+1] = x[1] = 2. • Pour n = 1: y[1] = x[2(1)+1] = x[3] = 2. • Pour n = 2: y[2] = x[2(2)+1] = x[5] = 0. Step 3: Décrire le tracé du signal y[n]. Le signal y[n] est nul pour n < -2 et n > 2. Les valeurs non nulles sont : • y[-2] = -1 • y[-1] = 1 • y[0] = 2 • y[1] = 2 • y[2] = 0 Voici les descriptions des signaux transformés pour que vous puissiez les tracer : a) Signal y(t) = 0,5X(4t-2) Le signal commence à y(t)=0 pour t < -0,25. Il monte linéairement de y(-0,25)=0 à y(0)=1. Il reste constant à y(t)=1 pour t [0 ; 0,25]. Il descend à y(t)=0 et reste constant à y(t)=0 pour t [0,25 ; 0,5]. À t=0,5, il y a une discontinuité où la valeur saute de 0 à 0,5. Il descend linéairement de y(0,5)=0,5 à y(0,75)=0. Le signal est y(t)=0 pour t > 0,75. b) Signal y[n] = x[2n+1] Le signal discret a les valeurs suivantes : y[-2] = -1 y[-1] = 1 y[0] = 2 y[1] = 2 y[2] = 0 Toutes les autres valeurs de y[n] sont 0. Envoyez-moi la prochaine 📸