Déterminer l'équation booléenne de la sortie S assurant l'autorisation de fonctionnement de ce monte-charge et dessiner son logigramme.

Nous définissons les entrées comme suit :

• $a$: contact a (1 si activé, 0 si inactif)
• $b$: contact b (1 si activé, 0 si inactif)
• $c$: contact c (1 si activé, 0 si inactif)

La sortie $S$ représente l'autorisation de fonctionnement du monte-charge (1 si autorisé, 0 si non autorisé).
D'après le cahier des charges :

• À vide (0 kg) : Aucun contact n'est activé ($a=0, b=0, c=0$). Le monte-charge peut fonctionner ($S=1$).
• Charges entre 5 et 20 kg : Le contact "a" est activé ($a=1, b=0, c=0$). Le monte-charge ne peut pas fonctionner ($S=0$).
• Charges entre 20 et 80 kg : Les contacts "a" et "b" sont activés ($a=1, b=1, c=0$). Le monte-charge doit fonctionner ($S=1$).
• Charges supérieures à 80 kg : Les contacts "a", "b" et "c" sont activés ($a=1, b=1, c=1$). Le monte-charge ne peut pas fonctionner ($S=0$).

La table de vérité est la suivante :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & S \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Nous identifions les mintermes pour lesquels $S=1$:

• Pour $a=0, b=0, c=0 \implies \bar{a}\bar{b}\bar{c}$
• Pour $a=1, b=1, c=0 \implies a b \bar{c}$

L'équation booléenne initiale est la somme de ces mintermes :

$$S = \bar{a}\bar{b}\bar{c} + a b \bar{c}$$

Nous pouvons factoriser $\bar{c}$ de l'équation :

$$S = \bar{c}(\bar{a}\bar{b} + a b)$$

Le terme $(\bar{a}\bar{b} + a b)$ est équivalent à la fonction XNOR (NON-OU EXCLUSIF) entre $a$ et $b$, ou $\overline{a \oplus b}$.
Donc, l'équation simplifiée est :

$$\boxed{S = \bar{c}(\bar{a}\bar{b} + a b)}$$

Le logigramme pour l'équation $S = \bar{c}(\bar{a}\bar{b} + a b)$ est construit avec des portes logiques standard :

1. Trois portes NON (NOT) :
   • Une porte NON prend $a$ en entrée et produit $\bar{a}$.
   • Une porte NON prend $b$ en entrée et produit $\bar{b}$.
   • Une porte NON prend $c$ en entrée et produit $\bar{c}$.
2. Deux portes ET (AND) à 2 entrées :
   • Une porte ET prend $\bar{a}$ et $\bar{b}$ en entrées et produit $\bar{a}\bar{b}$.
   • Une porte ET prend $a$ et $b$ en entrées et produit $a b$.
3. Une porte OU (OR) à 2 entrées :
   • Une porte OU prend $\bar{a}\bar{b}$ et $a b$ en entrées et produit $(\bar{a}\bar{b} + a b)$.
4. Une porte ET (AND) à 2 entrées :
   • Une porte ET prend $\bar{c}$ et $(\bar{a}\bar{b} + a b)$ en entrées et produit la sortie finale $S$.