Écrire les équations paramétriques des lignes d'action.

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Pour montrer que les forces F1⃗\vec{F_1} et F2⃗\vec{F_2} sont concourantes, nous devons vérifier si leurs lignes d'action se coupent en un point unique.

  1. Écrire les équations paramétriques des lignes d'action.

    La ligne d'action d'une force F⃗\vec{F} agissant au point r0⃗\vec{r_0} est donnée par r⃗=r0⃗+λF⃗\vec{r} = \vec{r_0} + \lambda \vec{F}.

    Pour la force F1⃗=(−8i⃗+8j⃗−4k⃗)\vec{F_1} = (-8\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}) N agissant au point r1⃗=(5i⃗−6j⃗−k⃗)\vec{r_1} = (5\vec{i} - 6\vec{j} - \vec{k}) m, sa ligne d'action L1L_1 est :

    L1:{x=5−8λ1y=−6+8λ1z=−1−4λ1L_1: \begin{cases} x = 5 - 8\lambda_1 \\ y = -6 + 8\lambda_1 \\ z = -1 - 4\lambda_1 \end{cases}

    Pour la force F2⃗=(−4i⃗−4j⃗−2k⃗)\vec{F_2} = (-4\vec{i} - 4\vec{j} - 2\vec{k}) N agissant au point r2⃗=(i⃗−j⃗−3k⃗)\vec{r_2} = (\vec{i} - \vec{j} - 3\vec{k}) m, sa ligne d'action L2L_2 est :

    L2:{x=1−4λ2y=−1−4λ2z=−3−2λ2L_2: \begin{cases} x = 1 - 4\lambda_2 \\ y = -1 - 4\lambda_2 \\ z = -3 - 2\lambda_2 \end{cases}

  2. Égaliser les composantes pour trouver un point d'intersection.

    Si les lignes se coupent, il existe des valeurs λ1\lambda_1 et λ2\lambda_2 telles que les coordonnées (x,y,z)(x, y, z) sont identiques :

    5−8λ1=1−4λ2(1)5 - 8\lambda_1 = 1 - 4\lambda_2 \quad (1) −6+8λ1=−1−4λ2(2)-6 + 8\lambda_1 = -1 - 4\lambda_2 \quad (2) −1−4λ1=−3−2λ2(3)-1 - 4\lambda_1 = -3 - 2\lambda_2 \quad (3)

  3. Résoudre le système d'équations pour λ1\lambda_1 et λ2\lambda_2.

    De l'équation (1), nous avons 4λ2=1−(5−8λ1)=8λ1−44\lambda_2 = 1 - (5 - 8\lambda_1) = 8\lambda_1 - 4, d'où λ2=2λ1−1\lambda_2 = 2\lambda_1 - 1.
    Substituons cette expression de λ2\lambda_2 dans l'équation (2) :

    −6+8λ1=−1−4(2λ1−1)-6 + 8\lambda_1 = -1 - 4(2\lambda_1 - 1) −6+8λ1=−1−8λ1+4-6 + 8\lambda_1 = -1 - 8\lambda_1 + 4 −6+8λ1=3−8λ1-6 + 8\lambda_1 = 3 - 8\lambda_1 16λ1=916\lambda_1 = 9 λ1=916\lambda_1 = \frac{9}{16}

    Maintenant, substituons λ1=916\lambda_1 = \frac{9}{16} dans l'expression de λ2\lambda_2 :

    λ2=2(916)−1=98−1=9−88=18\lambda_2 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{9 - 8}{8} = \frac{1}{8}

  4. Vérifier la cohérence avec la troisième équation.

    Nous vérifions si ces valeurs de λ1\lambda_1 et λ2\lambda_2 satisfont l'équation (3) :
    Côté gauche (LHS) : −1−4λ1=−1−4(916)=−1−94=−44−94=−134-1 - 4\lambda_1 = -1 - 4\left(\frac{9}{16}\right) = -1 - \frac{9}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{13}{4}
    Côté droit (RHS) : −3−2λ2=−3−2(18)=−3−14=−124−14=−134-3 - 2\lambda_2 = -3 - 2\left(\frac{1}{8}\right) = -3 - \frac{1}{4} = -\frac{12}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{13}{4}
    Puisque LHS = RHS, les valeurs de λ1\lambda_1 et λ2\lambda_2 sont cohérentes avec toutes les équations.

  5. Conclusion.

    Comme il existe des valeurs de λ1\lambda_1 et λ2\lambda_2 qui satisfont simultanément les trois équations, les lignes d'action des forces F1⃗\vec{F_1} et F2⃗\vec{F_2} se coupent en un point unique.
    Par conséquent, les forces F1⃗\vec{F_1} et F2⃗\vec{F_2} sont concourantes.
    Le point de concours est (12,−32,−134)\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{13}{4}\right).

    Les forces F1⃗ et F2⃗ sont concourantes.\boxed{\text{Les forces } \vec{F_1} \text{ et } \vec{F_2} \text{ sont concourantes.}}

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