If ||A + B|| = |A| + |B|, then the angle between A and B is --

माना दो बल $F_1$ और $F_2$ हैं।
जब बल समकोण पर होते हैं, तो परिणामी का परिमाण $R_{90} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$ होता है।

$$13 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \implies F_1^2 + F_2^2 = 13^2 = 169 \quad (1)$$

न्यूनतम परिणामी तब होता है जब बल विपरीत दिशाओं में होते हैं, $R_{min} = |F_1 - F_2|$।

$$7 = |F_1 - F_2|$$

यह मानते हुए कि $F_1 > F_2$, हमें मिलता है:

$$F_1 - F_2 = 7 \implies F_1 = F_2 + 7 \quad (2)$$

समीकरण (2) को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर:

$$(F_2 + 7)^2 + F_2^2 = 169$$ $$F_2^2 + 14F_2 + 49 + F_2^2 = 169$$ $$2F_2^2 + 14F_2 - 120 = 0$$ $$F_2^2 + 7F_2 - 60 = 0$$

द्विघात समीकरण को हल करने पर:

$$F_2 = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-60)}}{2(1)}$$ $$F_2 = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2}$$ $$F_2 = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}$$ $$F_2 = \frac{-7 \pm 17}{2}$$

चूंकि बल का परिमाण धनात्मक होना चाहिए:

$$F_2 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ N}$$

अब $F_1$ का मान ज्ञात करें:

$$F_1 = F_2 + 7 = 5 + 7 = 12\text{ N}$$

इसलिए, बल $5\text{ N}$ और $12\text{ N}$ हैं।

सही विकल्प है:

• C) $5\text{ N}, 12\text{ N}$

दो समान बलों 'P' का परिणामी $R = 2P\cos(\theta/2)$ होता है।
पहला कोण $\theta_1 = 60^\circ$:

$$R_1 = 2P\cos(60^\circ/2) = 2P\cos(30^\circ) = 2P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = P\sqrt{3}$$

दूसरा कोण $\theta_2 = 120^\circ$:

$$R_2 = 2P\cos(120^\circ/2) = 2P\cos(60^\circ) = 2P\left(\frac{1}{2}\right) = P$$

परिणामी के परिमाण का अनुपात $R_1 : R_2$:

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{P\sqrt{3}}{P} = \frac{\sqrt{3}}{1}$$

अनुपात $\sqrt{3}:1$ है।

सही विकल्प है:

• B) $\sqrt{3}:1$

माना दो बल $F_1$ और $F_2$ हैं। उनका अनुपात $F_1 : F_2 = 5 : 2$ है।
हम $F_1 = 5x$ और $F_2 = 2x$ मान सकते हैं।
अधिकतम परिणामी तब होता है जब बल एक ही दिशा में होते हैं:

$$R_{max} = F_1 + F_2 = 5x + 2x = 7x$$

न्यूनतम परिणामी तब होता है जब बल विपरीत दिशाओं में होते हैं:

$$R_{min} = |F_1 - F_2| = |5x - 2x| = 3x$$

उनके परिणामी के अधिकतम और न्यूनतम का अनुपात:

$$\frac{R_{max}}{R_{min}} = \frac{7x}{3x} = \frac{7}{3}$$

अनुपात $7:3$ है।

सही विकल्प है:

• C) $7:3$

माना बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ हैं।
दिया गया है $F_1 = 1\text{ N}$ और $F_2 = P$.
परिणामी $\vec{R}$ का परिमाण $R = 1\text{ N}$ है।
परिणामी $\vec{R}$ बल $\vec{F}_1$ के लंबवत है।
इसका मतलब है कि $\vec{F}_1$, $\vec{R}$ और $\vec{F}_2$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ $\vec{F}_2$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

$$F_2^2 = F_1^2 + R^2$$ $$P^2 = (1\text{ N})^2 + (1\text{ N})^2$$ $$P^2 = 1 + 1 = 2$$ $$P = \sqrt{2}\text{ N}$$

बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि परिणामी का कोण $\vec{F}_1$ के साथ $\alpha = 90^\circ$ है।

$$\tan\alpha = \frac{F_2\sin\theta}{F_1 + F_2\cos\theta}$$

चूंकि $\alpha = 90^\circ$, $\tan\alpha$ अपरिभाषित है, जिसका अर्थ है कि हर शून्य होना चाहिए:

$$F_1 + F_2\cos\theta = 0$$ $$1 + P\cos\theta = 0$$ $$1 + \sqrt{2}\cos\theta = 0$$ $$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\theta = 135^\circ$$

सही विकल्प है:

• A) $\sqrt{2}\text{N}, 135^\circ$

दो बल $F_1 = 40\text{ N}$ (छोटा बल) और $F_2 = 60\text{ N}$ हैं। उनके बीच का कोण $\theta = 60^\circ$ है।
परिणामी बल का परिमाण $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta}$ द्वारा दिया जाता है।

$$R = \sqrt{(40)^2 + (60)^2 + 2(40)(60)\cos(60^\circ)}$$ $$R = \sqrt{1600 + 3600 + 2(40)(60)(0.5)}$$ $$R = \sqrt{1600 + 3600 + 2400}$$ $$R = \sqrt{7600}$$ $$R = \sqrt{100 \times 76} = 10\sqrt{76} = 10\sqrt{4 \times 19} = 20\sqrt{19}\text{ N}$$

परिणामी और छोटे बल ($F_1$) के बीच का कोण $\alpha$ ज्ञात करने के लिए:

$$\tan\alpha = \frac{F_2\sin\theta}{F_1 + F_2\cos\theta}$$ $$\tan\alpha = \frac{60\sin(60^\circ)}{40 + 60\cos(60^\circ)}$$ $$\tan\alpha = \frac{60(\sqrt{3}/2)}{40 + 60(1/2)}$$ $$\tan\alpha = \frac{30\sqrt{3}}{40 + 30} = \frac{30\sqrt{3}}{70} = \frac{3\sqrt{3}}{7}$$ $$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)$$

मेरे गणना किए गए परिणाम $R = 20\sqrt{19}\text{ N}$ और $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)$ हैं।
दिए गए विकल्पों में, विकल्प B में कोण का मान $\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)$ है, लेकिन परिमाण $20\sqrt{7}\text{ N}$ है। चूंकि कोण का मान मेल खाता है, हम विकल्प B का चयन करेंगे, यह मानते हुए कि परिमाण में एक त्रुटि है।

सही विकल्प है:

• B) $20\sqrt{7}\text{N}, \tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)$ (परिमाण $20\sqrt{19}\text{N}$ होना चाहिए)

दो समान परिमाण के बल $F$ एक बिंदु पर $40^\circ$ के कोण पर कार्य करते हैं।
परिणामी बल द्वारा प्रत्येक दिए गए बल के साथ बनाया गया कोण $\alpha$ ज्ञात करना है।
जब दो बल समान होते हैं ($F_1 = F_2 = F$), तो परिणामी बल उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।
इसलिए, परिणामी द्वारा प्रत्येक बल के साथ बनाया गया कोण $\alpha = \theta/2$ होता है।
यहां $\theta = 40^\circ$, तो $\alpha = 40^\circ/2 = 20^\circ$।
सूत्र का उपयोग करके:

$$\tan\alpha = \frac{F_2\sin\theta}{F_1 + F_2\cos\theta}$$

चूंकि $F_1 = F_2 = F$:

$$\tan\alpha = \frac{F\sin\theta}{F + F\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$$

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ और $1+\cos\theta = 2\cos^2(\theta/2)$।

$$\tan\alpha = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)} = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$$

इसलिए, $\alpha = \theta/2 = 40^\circ/2 = 20^\circ$।
विकल्पों में से, विकल्प C इस सूत्र को दर्शाता है:

$$\text{C) } \tan^{-1}\left(\frac{\sin 40^\circ}{1+\cos 40^\circ}\right)$$

यह $\tan^{-1}(\tan(40^\circ/2)) = \tan^{-1}(\tan(20^\circ)) = 20^\circ$ के बराबर है।

सही विकल्प है:

• C) $\tan^{-1}\left(\frac{\sin 40^\circ}{1+\cos 40^\circ}\right)$

यदि $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$ है, तो $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण ज्ञात करें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2$$

सदिश योग और अंतर के परिमाण के सूत्र का उपयोग करने पर:

$$A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta = A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta$$

दोनों पक्षों से $A^2 + B^2$ को घटाने पर:

$$2AB\cos\theta = -2AB\cos\theta$$ $$4AB\cos\theta = 0$$

यदि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ शून्य सदिश नहीं हैं, तो $A \neq 0$ और $B \neq 0$।
इसलिए, $\cos\theta = 0$ होना चाहिए।

$$\theta = 90^\circ$$

सही विकल्प है:

• B) $90^\circ$