10 Լուծեք կետագծային կետերը՝ 3 մ շարժումից հետո 2 մ/վ սկզբնական արագությամբ։ 1,2 մ/վ սկզբնական արագությունը ժամանակի 5 վ վայրկյան։ ա) ակնթարթային արագությունը ժամանակի t = 2 վ։ բ) ակնթարթային արագությունը ժամանակի t = 2 վ։)

The velocity vector is the first derivative of the position vector with respect to time.

$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$$ $$\vec{v}(t) = \frac{d}{dt}(3t^3 \hat{i} + 2t \hat{j} + \hat{k})$$ $$\vec{v}(t) = (3 \cdot 3t^{3-1}) \hat{i} + (2 \cdot 1t^{1-1}) \hat{j} + (0) \hat{k}$$ $$\vec{v}(t) = 9t^2 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ m/s}$$

The acceleration vector is the first derivative of the velocity vector with respect to time.

$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}$$ $$\vec{a}(t) = \frac{d}{dt}(9t^2 \hat{i} + 2 \hat{j})$$ $$\vec{a}(t) = (9 \cdot 2t^{2-1}) \hat{i} + (0) \hat{j}$$ $$\vec{a}(t) = 18t \hat{i} \text{ m/s}^2$$

Substitute $t=1$ s into the velocity vector equation:

$$\vec{v}(1) = 9(1)^2 \hat{i} + 2 \hat{j}$$ $$\vec{v}(1) = 9 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ m/s}$$

The magnitude of a vector $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ is given by $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$.

$$|\vec{v}(1)| = \sqrt{(9)^2 + (2)^2}$$ $$|\vec{v}(1)| = \sqrt{81 + 4}$$ $$|\vec{v}(1)| = \sqrt{85} \text{ m/s}$$ $$|\vec{v}(1)| \approx 9.22 \text{ m/s}$$

a) The velocity and acceleration vectors are:

$$\boxed{\vec{v}(t) = 9t^2 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ m/s}}$$ $$\boxed{\vec{a}(t) = 18t \hat{i} \text{ m/s}^2}$$

b) The magnitude of the velocity at $t_1 = 1$ s is:

$$\boxed{|\vec{v}(1)| = \sqrt{85} \approx 9.22 \text{ m/s}}$$