Solve in french

Puisque $(x+2)$ est un facteur de $f(x)$, nous savons que $f(-2) = 0$.
En substituant $x=-2$ dans $f(x)$ et en posant $c=0$:

$$f(-2) = a(-2)^3 - (-2)^2 + b(-2) + 0 = 0$$ $$-8a - 4 - 2b = 0$$ $$-8a - 2b = 4$$

En divisant toute l'équation par $-2$, nous obtenons la première équation:

$$4a + b = -2 \quad (1)$$

Puisque $f(x)$ laisse un reste de 10 lorsqu'il est divisé par $(x+1)$, nous savons que $f(-1) = 10$.
En substituant $x=-1$ dans $f(x)$ et en posant $c=0$:

$$f(-1) = a(-1)^3 - (-1)^2 + b(-1) + 0 = 10$$ $$-a - 1 - b = 10$$ $$-a - b = 11 \quad (2)$$

Nous avons le système d'équations linéaires suivant:

1. $4a + b = -2$
2. $-a - b = 11$

Additionnons l'équation (1) et l'équation (2) pour éliminer $b$:

$$(4a + b) + (-a - b) = -2 + 11$$ $$3a = 9$$ $$a = \frac{9}{3}$$ $$a = 3$$

Substituons la valeur de $a=3$ dans l'équation (2):

$$-(3) - b = 11$$ $$-3 - b = 11$$ $$-b = 11 + 3$$ $$-b = 14$$ $$b = -14$$

Les valeurs des constantes sont $a=3$ et $b=-14$.
Le polynôme est donc $f(x) = 3x^3 - x^2 - 14x$.

b) Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$.

Nous devons résoudre l'équation $f(x) = 0$:

$$3x^3 - x^2 - 14x = 0$$

Nous pouvons factoriser $x$ de chaque terme:

$$x(3x^2 - x - 14) = 0$$

Ceci nous donne une première solution:

$$x = 0$$

Pour trouver les autres solutions, nous devons résoudre l'équation quadratique $3x^2 - x - 14 = 0$.
Utilisons la formule quadratique $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$, avec $A=3$, $B=-1$, $C=-14$.

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-14)}}{2(3)}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - (-168)}}{6}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 168}}{6}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{169}}{6}$$ $$x = \frac{1 \pm 13}{6}$$

Nous obtenons deux solutions supplémentaires:

$$x_1 = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ $$x_2 = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$

Les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$ sont 0, $\frac{7}{3}$ et $-2$.

a) Les valeurs des constantes sont $\boxed{a=3, b=-14}$.

b) Les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$ sont $\boxed{x \in \left\{-2, 0, \frac{7}{3}\right\}}$.