एक गोले के व्यास के सिरे (1, 2, -3) और (5, 0, 1) है । इस गोले का, गोले x² + y² + z² - 2x - 4y - 6z + 10 = 0 के साथ प्रतिच्छेद कोण बराबर है -

पहले गोले के व्यास के सिरे $(1, 2, -3)$ और $(5, 0, 1)$ हैं।
व्यास के सिरों $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ वाले गोले का समीकरण है:

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

यह पहले गोले $S_1$ का समीकरण है।

गोले के सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर:
$2u_1 = -6 \Rightarrow u_1 = -3$
$2v_1 = -2 \Rightarrow v_1 = -1$
$2w_1 = 2 \Rightarrow w_1 = 1$
$d_1 = 2$
केंद्र $C_1 = (-u_1, -v_1, -w_1) = (3, 1, -1)$
त्रिज्या $R_1 = \sqrt{u_1^2 + v_1^2 + w_1^2 - d_1} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 - 2} = \sqrt{9 + 1 + 1 - 2} = \sqrt{9} = 3$

दूसरे गोले का समीकरण दिया गया है: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 10 = 0$
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर:
$2u_2 = -2 \Rightarrow u_2 = -1$
$2v_2 = -4 \Rightarrow v_2 = -2$
$2w_2 = -6 \Rightarrow w_2 = -3$
$d_2 = 10$
केंद्र $C_2 = (-u_2, -v_2, -w_2) = (1, 2, 3)$
त्रिज्या $R_2 = \sqrt{u_2^2 + v_2^2 + w_2^2 - d_2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 - 10} = \sqrt{1 + 4 + 9 - 10} = \sqrt{4} = 2$

$C_1 = (3, 1, -1)$ और $C_2 = (1, 2, 3)$

दो गोलों के बीच प्रतिच्छेद कोण का सूत्र है:

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अतः, प्रतिच्छेद कोण है:

दिए गए विकल्पों में से, विकल्प (3) सही उत्तर है।

The angle of intersection is:
C) $\cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)$