एक सदिश, जो सदिशों 2î - 4k तथा सदिश î + j + k के समान्तर हो, है -

हमें तीन सदिश दिए गए हैं:

• $\vec{u} = \hat{i} + \hat{j}$
• $\vec{v} = \hat{i} + \hat{k}$
• $\vec{w} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}$

हमें एक सदिश $\vec{r}$ ज्ञात करना है जो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के समतलीय हो तथा सदिश $\vec{w}$ के समान्तर हो।

यदि सदिश $\vec{r}$ सदिश $\vec{w}$ के समान्तर है, तो $\vec{r}$ को $\vec{w}$ के अदिश गुणज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\vec{r} = k\vec{w}$$

जहाँ $k$ कोई गैर-शून्य अदिश है। इसका अर्थ है कि $\vec{r}$ की दिशा $\vec{w}$ की दिशा के समान है।

यदि सदिश $\vec{r}$ सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के समतलीय है, तो $\vec{r}$, $\vec{u}$ और $\vec{v}$ का अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) शून्य होना चाहिए:

$$[\vec{r}, \vec{u}, \vec{v}] = \vec{r} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$$

उपरोक्त दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए, सदिश $\vec{w}$ की दिशा को सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ द्वारा बनाए गए तल में होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, $\vec{w}$ को $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के समतलीय होना चाहिए। हम इसकी जाँच अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}]$ की गणना करके करते हैं।

सबसे पहले, $\vec{u} \times \vec{v}$ की गणना करें:

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= \hat{i}((1)(1) - (0)(0)) - \hat{j}((1)(1) - (0)(1)) + \hat{k}((1)(0) - (1)(1))$$ $$= \hat{i}(1) - \hat{j}(1) + \hat{k}(-1)$$ $$= \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$$

अब, अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}]$ की गणना करें:

$$[\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}] = \vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$$ $$= (2\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$$ $$= (2)(1) + (-2)(-1) + (-4)(-1)$$ $$= 2 + 2 + 4$$ $$= 8$$

चूंकि $[\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}] = 8 \neq 0$, सदिश $\vec{w}$ सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के समतलीय नहीं है।
इसका अर्थ है कि $\vec{w}$ की दिशा उस तल में नहीं है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ द्वारा बनाया गया है।
इसलिए, कोई भी गैर-शून्य सदिश $\vec{r}$ एक साथ $\vec{w}$ के समान्तर और $\vec{u}$ तथा $\vec{v}$ के समतलीय नहीं हो सकता है।
केवल शून्य सदिश ही दोनों शर्तों को संतुष्ट कर सकता है, लेकिन यह विकल्पों में नहीं है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी सदिश दोनों शर्तों को पूरा नहीं करता है।

इस प्रकार, यह प्रश्न दिए गए विकल्पों के साथ हल नहीं किया जा सकता है।

The final answer is $\text{(5) अनुत्तरित प्रश्न}$.