This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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You're on a roll — यहाँ उदाहरण 3 का हल है: प्रश्न: 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त की 8 cm लंबी एक जीवा PQ है। P और Q पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। TP की लंबाई ज्ञात कीजिए। दिया गया है: वृत्त की त्रिज्या (Radius) OP = OQ = 5 cm जीवा (Chord) PQ की लंबाई = 8 cm स्पर्श रेखाएँ TP और TQ बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। Step 1: OR की लंबाई ज्ञात करें OT को मिलाएँ। हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है और उस पर लंब होता है। इसलिए, OT, PQ को बिंदु R पर समद्विभाजित करता है और OT PQ है। अतः, PR = RQ = (PQ)/(2) = (8)/(2) = 4 cm। समकोण त्रिभुज OPR में (क्योंकि ORP = 90^): पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OP^2 = OR^2 + PR^2 5^2 = OR^2 + 4^2 25 = OR^2 + 16 OR^2 = 25 - 16 OR^2 = 9 OR = sqrt(9) OR = 3 cm Step 2: समरूप त्रिभुजों को पहचानें हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए, OPT = 90^ है। समकोण त्रिभुज OPT में, OPT = 90^ है। अतः, OPR + RPT = 90^ है। अब, त्रिभुज PRT में, क्योंकि OT PQ है, तो PRT = 90^ है। समकोण त्रिभुज PRT में: RPT + PTR = 90^ है। उपरोक्त दो समीकरणों की तुलना करने पर: OPR + RPT = RPT + PTR OPR = PTR अब, त्रिभुज PRT और OPR पर विचार करें: 1. PRT = ORP = 90^ (दोनों समकोण हैं) 2. PTR = OPR (ऊपर सिद्ध किया गया) अतः, AA समरूपता कसौटी से, PRT OPR है। Step 3: समरूपता का उपयोग करके TP की लंबाई ज्ञात करें चूंकि त्रिभुज PRT और OPR समरूप हैं, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा: (PT)/(OP) = (PR)/(OR) दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (TP)/(5) = (4)/(3) TP = 5 × (4)/(3) TP = (20)/(3) cm अतः, TP की लंबाई (20)/(3) cm है। The final answer is (20)/(3) cm. एक और सवाल भेजो 📸