5 cm त्रिज्या के एक वृत्त की 8 cm लंबी एक जीवा PQ है। P और Q पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। TP की लंबाई ज्ञात कीजिए।

OT को मिलाएँ। हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है और उस पर लंब होता है। इसलिए, OT, PQ को बिंदु R पर समद्विभाजित करता है और $OT \perp PQ$ है।
अतः, $PR = RQ = \frac{PQ}{2} = \frac{8}{2} = 4$ cm।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPR$ में (क्योंकि $\angle ORP = 90^\circ$):
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

$$OP^2 = OR^2 + PR^2$$ $$5^2 = OR^2 + 4^2$$ $$25 = OR^2 + 16$$ $$OR^2 = 25 - 16$$ $$OR^2 = 9$$ $$OR = \sqrt{9}$$ $$OR = 3 \text{ cm}$$

हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए, $\angle OPT = 90^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPT$ में, $\angle OPT = 90^\circ$ है।
अतः, $\angle OPR + \angle RPT = 90^\circ$ है।
अब, त्रिभुज $\triangle PRT$ में, क्योंकि $OT \perp PQ$ है, तो $\angle PRT = 90^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PRT$ में:
$\angle RPT + \angle PTR = 90^\circ$ है।
उपरोक्त दो समीकरणों की तुलना करने पर:
$\angle OPR + \angle RPT = \angle RPT + \angle PTR$
$\angle OPR = \angle PTR$

अब, त्रिभुज $\triangle PRT$ और $\triangle OPR$ पर विचार करें:

1. $\angle PRT = \angle ORP = 90^\circ$ (दोनों समकोण हैं)
2. $\angle PTR = \angle OPR$ (ऊपर सिद्ध किया गया) अतः, AA समरूपता कसौटी से, $\triangle PRT \sim \triangle OPR$ है।

चूंकि त्रिभुज $\triangle PRT$ और $\triangle OPR$ समरूप हैं, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा:

$$\frac{PT}{OP} = \frac{PR}{OR}$$

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$$\frac{TP}{5} = \frac{4}{3}$$ $$TP = 5 \times \frac{4}{3}$$ $$TP = \frac{20}{3} \text{ cm}$$

अतः, TP की लंबाई $\frac{20}{3}$ cm है।

The final answer is $\frac{20}{3} \text{ cm}$.