A = [[1, 2, 1], [2, 1, 5], [x1, x2, x3]] = [[4], [5]] for which a system of equations has the maximum number of solutions?

दिया गया आव्यूह समीकरण है:

यह एक रैखिक समीकरण निकाय को दर्शाता है:

1. $x_1 + 2x_2 + x_3 = 4$
2. $2x_1 + x_2 + 5x_3 = 5$

यहां, समीकरणों की संख्या $m = 2$ है।
चरों की संख्या $n = 3$ है ($x_1, x_2, x_3$)।

एक रैखिक समीकरण निकाय के लिए जिसमें $m$ समीकरण और $n$ चर हों (जहाँ $n > m$), संभावित आधारी हलों की अधिकतम संख्या $\binom{n}{m}$ द्वारा दी जाती है।
यह $n$ चरों में से $m$ चरों को आधारी चर के रूप में चुनने के तरीकों की संख्या है, जबकि शेष $n-m$ चरों को शून्य (गैर-आधारी चर) पर सेट किया जाता है।

यहां $n=3$ और $m=2$ है।
संभावित आधारी हलों की अधिकतम संख्या है:

संयोजन सूत्र का उपयोग करके:

गणना के अनुसार, संभावित आधारी हलों की अधिकतम संख्या 3 है। यह विकल्प (1) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(1) 3}$.